O paradoxo do prisioneiro

11

Fiz um exercício e não consigo entender direito.

O paradoxo do prisioneiro
Três presos em confinamento solitário, A, B e C, foram condenados à morte no mesmo dia, mas, como há feriado nacional, o governador decide que um perdão será concedido. Os presos são informados disso, mas informados de que não saberão qual deles será poupado até o dia agendado para as execuções.

O prisioneiro A diz ao carcereiro: "Eu já sei que pelo menos um dos outros dois prisioneiros será executado; portanto, se você me disser o nome de alguém que será executado, não terá me fornecido nenhuma informação sobre minha própria execução" .

O carcereiro aceita isso e diz a ele que C definitivamente morrerá.

A então raciocina: “Antes que eu soubesse que C deveria ser executado, eu tinha 1 em 3 chances de receber um perdão. Agora eu sei que B ou eu seremos perdoados, as chances aumentaram para 1 em 2. ”.

Mas o carcereiro ressalta: "Você poderia ter chegado a uma conclusão semelhante se eu dissesse que B vai morrer e eu fosse obrigado a responder B ou C, então por que você precisou perguntar?".

Quais são as chances de A receber perdão e por quê? Construa uma explicação que convença os outros de que você está certo.

Você poderia resolver isso pelo teorema de Bayes, desenhando uma rede de crenças ou pelo senso comum. Qualquer abordagem que você escolher deve aprofundar sua compreensão do conceito enganosamente simples de probabilidade condicional.

Aqui está a minha análise:

Parece o problema do Monty Hall , mas não exatamente. Se A diz que I change my place with Bdepois que lhe dizem que C morrerá, ele tem 2/3 de chances de ser salvo. Se ele não aceitar, diria que suas chances são de 1/3 de vida, como quando você não muda sua escolha no problema de Monty Hall. Mas, ao mesmo tempo, ele está em um grupo de 2 homens e um deve morrer, por isso é tentador dizer que suas chances são de 1/2.

Portanto, o paradoxo ainda está aqui, como você abordaria isso. Além disso, não tenho idéia de como eu poderia criar uma rede de crenças sobre isso, por isso estou interessado em ver isso.

probability self-study

— Benjamin Crouzier
fonte

2

"Ele está em um grupo de 2 caras" não implica "suas chances são de 1/2"

— Henry

8

Inicialmente, existem três possibilidades com probabilidades iguais:

Um será libertado (prov ) $1/3$
B será libertado (prov ) $1/3$
C será libertado (prov $1/3$ )

Com a promessa da mensagem, existem quatro possibilidades com probabilidades diferentes:

Um será libertado e A é contada B será executada (prov $1/6$ )
Um será libertado e A é contada C será executada (prov ) $1/6$
B será libertado e A é contada C será executada (prov ) $1/3$
C será libertado e A é contada B será executada (prov ) $1/3$

Condicional em "A é informado de que C será executado", isso se torna

Um será libertado e A é contada C será executada (prov ) $1/3$
B será libertado e A é contada C será executada (prov ) $2/3$

Assim, após a mensagem Um gostaria de swap com B (o problema Monty Hall), mas não pode e assim mantém o original probabilidade de ser executado. $2/3$

— Henry
fonte

1

A gostaria de trocar com B é a chave. Para tomar uma das explicações comuns de Monty Hall: Imagine que existem 1000 prisioneiros: A pergunta ao carcereiro que lhe dá 998 nomes. Claramente, aprendemos muito sobre o cara que não é A e quem não é nomeado . Mas nós não aprendemos nada sobre A .

— Ben Jackson

Acho que na posição de A é uma estratégia muito boa para ele perguntar isso ao guarda. Depois, converse com B e pergunte se ele deseja trocar. Se ele concordar, vocês podem perguntar aos executores se, se um deles deve ser libertado, liberte o outro. Do ponto de vista do B, suas chances não mudar, então não há nenhuma razão para ele dizer não (ou para dizer que sim, por isso é uma questão de pressão nesse ponto)

— Cruncher

8

Acho que você está pensando demais no problema - é um problema de Monty Hall e a mesma lógica se aplica.

— babelproofreader
fonte

Você pode desenvolver? Estou interessado pelo raciocínio, não é a resposta

— Benjamin Crouzier

1

@pinouchon: O Jailer é Monty Hall e o Prisioneiro A é o jogador. Morrer é análogo a conseguir uma cabra; ser perdoado é análogo a receber um prêmio. Agora você pode traduzir diretamente qualquer explicação do problema de Monty Hall que você gosta: isso abrange muito raciocínio. +1 a babelproofreader por apontar isso.

— whuber

Como você argumentar contra esta declaração: But at the same time, he is in a group of 2 guys, and one should die, so it is tempting to say that his chances are 1/2.. E o que dizer da rede de crenças?

— Benjamin Crouzier 20/10/11

1

@ Pinouchon Seria construtivo editar sua pergunta para focar no aspecto da rede de crenças. O próprio problema de Monty Hall foi discutido até a morte em muitos, muitos lugares, então não vejo sentido em refazer esse material aqui.

— whuber

Concordo que o problema de Monty Hall foi discutido até a morte, mas, apesar das afirmações de babelproof e whuber, não vejo de onde o prisioneiro A chega para trocar de lugar. Se o carcereiro tivesse três envelopes selados, um contendo perdão e dois com sentenças de morte, A escolheu um envelope e o carcereiro abriu outra (exatamente as mesmas regras que eu dei em uma resposta separada) e mostrou que continha uma sentença de morte, e então perguntou A "Deseja manter o envelope que escolheu ou prefere trocar?" Eu posso ver a analogia

— Dilip Sarwate

3

$A$ $P(A) = \frac{1}{3}$ $B$

$P(B \mid A) = 1$ $P(B \mid A^c) = 0$ $P (B) = P (B ∣ A) P (A) + P (B ∣ A^{c}) P (A^{c}) = 1 \times \frac{1}{3} + 0 \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ $P(B) = P(B \mid A)P(A) + P(B \mid A^c)P(A^c) = 1 \times \frac{1}{3} + 0\times \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$
$P(B \mid A) = 0$ $P(B \mid A^c) = 1$ $P (B) = P (B ∣ A) P (A) + P (B ∣ A^{c}) P (A^{c}) = 0 \times \frac{1}{3} + 1 \times \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$ $P(B) = P(B \mid A)P(A) + P(B \mid A^c)P(A^c) = 0 \times \frac{1}{3} + 1\times \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$

$B$ como em "Se A diz que eu troco de casa com B depois que lhe dizem que C morrerá, ele tem 2/3 de chances de ser salvo".

$1$ $3$ independentemente de Monty abrir uma porta não escolhida para revelar uma cabra ou não, ou o carcereiro diz a A que C será executado, ou não, exatamente como Henry calculou em detalhes.

— Dilip Sarwate
fonte

Acho que podemos supor que o carcereiro tenha essas informações, caso contrário, não vale a pena argumentar sobre o problema (se o carcereiro tem uma probabilidade desconhecida de mentir, é possível que não tenha dito nada). Quanto ao seu primeiro ponto: com certeza, o resultado é diferente do problema de Monty Hall, porque não há opção para mudar. Mas a lógica é a mesma: ao revelar uma opção que não é vencedora, são fornecidas informações sobre outra opção que o carcereiro / Monty poderia ter escolhido.

— Ruben van Bergen

2

A resposta depende de como o carcereiro escolhe qual prisioneiro deve nomear quando sabe que A deve ser perdoado. Considere duas regras:

1) O carcereiro escolhe entre B e C aleatoriamente e, por acaso, diz C neste caso. Então a chance de A ser perdoado é de 1/3.

2) O carcereiro sempre diz C. Então a chance de A ser perdoado é de 1/2.

Tudo o que nos dizem é que o carcereiro disse C, então não sabemos quais dessas regras ele seguiu. De fato, poderia haver outras regras - talvez o carcereiro jogue um dado e só diga C se ele jogar um 6.

— Ringold
fonte

1

Como apontado por outros, o problema dos três prisioneiros é uma reformulação de Monty Hall. Para obter mais informações, consulte a seção 1.7 deste documento http://faculty.winthrop.edu/abernathyk/Monty%20Hall%20Problem.pdf

— zen
fonte

0

Imagine que o carcereiro diga a A que C definitivamente morrerá. E então ele diz a B que C definitivamente morrerá. É claro, neste caso, que A e B têm 50% cada para serem perdoados. Mas qual é a diferença entre as duas versões?

— gach
fonte

0

$1/2$ $2/3$ , mas só se carcereiro segue "sempre citar Bob quando possível" estratégia.

$A$ $B$ $C$ $J$ $J^c$ - ele diz o nome "Carl". Ele não pode nomear Alice por causa das regras.

$P(A|J) = P(J|A)P(A)/P(J)$

$P(J|A) = \frac{1}{2}$

P (A | J) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} / \frac{1}{2} = \frac{1}{3}

$P(A|J) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} / \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$

$P(J|A) = 1$ $P(J|C) = 1$ $P(J|B) = 0$

P (J) = P (J | B) P (B) + P (J | B^{c}) P (B^{c}) = 0 \times \frac{1}{3} + 1 \times \frac{2}{3} = \frac{2}{3}

$P(J) = P(J|B)P(B) + P(J|B^c)P(B^c) = 0\times\frac{1}{3} + 1\times\frac{2}{3} = \frac{2}{3}$

P (A | J) = 1 \times \frac{1}{3} / \frac{2}{3} = \frac{1}{2}

$P(A|J) = 1 \times \frac{1}{3} / \frac{2}{3} = \frac{1}{2}$

— Mikhail Volkhov
fonte

1

"Sempre nomear Carl quando possível" não seria tão plausível quanto "sempre nomear Bob quando possível"?

— Juho Kokkala

Sim, a estratégia S '= "sempre nomeie Carl se possível" deve ser completamente equivalente se redefinirmos J adequadamente. Se deixarmos J como está e forçar o carcereiro a seguir S ', tudo será predeterminado: sempre que J (o carcereiro diz Bob), sabemos que não era possível dizer "Carl", pois Carl foi perdoado. .

— Mikhail Volkhov

-1

Depois de receber a informação de que o prisioneiro C morrerá, suas chances mudam para 1/2, mas apenas porque as chances de obter essas informações já são 2/3 (a possibilidade de 1/3 do prisioneiro C receber o perdão é eliminada). )

E 2/3 * 1/2 é a probabilidade original de ser libertado.

Mais convincente é a abordagem de oposição:

Suponha que ele tenha dito que o prisioneiro C receberá o perdão.
Quais são as chances dele de não ser morto?
Todo mundo vai reconhecer que suas chances são zero, assumindo que o carcereiro não mente e que existe apenas um perdão.

Desta vez, ele tem chance de 1/1, porque a chance dessa informação já era de 1/3.

— Sunzi
fonte

Isso não está correto; veja o cálculo na resposta de Henry, que mostra que, depois de ouvir as informações do carcereiro, o prisioneiro A tem 2/3 de chance de morrer (e não 1/2). Essa é a mesma probabilidade que ele tinha antes, então o carcereiro está certo: o que ele disse a A não mudou nada pelas chances de vida de A. Se B estivesse ouvindo, ele agora saberia que sua chance de morrer foi reduzida para 1/3.

— Ruben van Bergen