O paradoxo mágico de prestígio

Você provavelmente conhece o truque do filme The Prestige :

[FILME SPOILER] Um mágico encontrou um impressionante truque de mágica: ele entra em uma máquina, fecha a porta e depois desaparece e reaparece no outro lado da sala. Mas a máquina não é perfeita: em vez de apenas teletransportá-lo, ela o duplicou. O mágico fica onde está, e uma cópia é criada do outro lado da sala. Então, o mago na máquina cai discretamente em um tanque de água embaixo do chão e é afogado. Edit: A probabilidade de a nova cópia do mágico ser afogado é 1/2 (em outras palavras, a nova cópia tem 1/2 chances de se afogar e 1/2 chances de aparecer na sala). Além disso, o tanque de água nunca falha e as chances são de que o mágico que cair no tanque morra.

Portanto, o mago não gosta muito de fazer esse truque, porque "você nunca sabe onde estará, do outro lado da sala ou se afogou".

Agora, o paradoxo é o seguinte: imagine que o mago faça o truque 100 vezes. Quais são as chances de ele sobreviver?

Edite, pergunta adicional: Quais são as chances do mago de manter seu cérebro físico e não ter um novo?

Análise rápida: por um lado, há um mágico vivo e 100 mágicos afogados, então suas chances são de 1 em 100.

Por outro lado, toda vez que ele faz o truque, ele tem 1/2 chances de permanecer vivo, então suas chances são de permanecer vivo.$(1/2)^{100}=1/(2^{100})$

Qual é a resposta certa e por quê?

Esse erro foi evidenciado em conversas escritas entre Fermat, Pascal e eminentes matemáticos franceses em 1654, quando os dois primeiros estavam considerando o "problema dos pontos". Um exemplo simples é este:

Duas pessoas apostam no resultado de dois lançamentos de uma moeda justa. O jogador A vence se um dos flip for cara; caso contrário, o jogador B vence. Quais são as chances de o jogador B vencer?

O argumento falso começa examinando o conjunto de resultados possíveis, que podemos enumerar:

1. H : O primeiro lançamento são as cabeças. O jogador A vence.
2. TH : Apenas o segundo flip é heads. O jogador A vence.
3. TT : Nenhuma virada é cara. Jogador B vence.

Como o jogador A tem duas chances de ganhar e B tem apenas uma chance, as probabilidades a favor de B são (de acordo com esse argumento) 1: 2; isto é, as chances de B são 1/3. Entre os que defendiam esse argumento estavam Gilles Personne de Roberval , membro fundador da Academia Francesa de Ciências.

O erro é claro para nós hoje, porque fomos educados por pessoas que aprenderam com essa discussão. Fermat argumentou (corretamente, mas não de maneira convincente) que o caso (1) realmente deve ser considerado dois casos, como se o jogo tivesse sido jogado através de ambos os movimentos, não importa o quê. Invocar uma sequência hipotética de lançamentos que não foi realmente realizada deixa muitas pessoas desconfortáveis. Atualmente, podemos achar mais convincente apenas descobrir as probabilidades de cada caso: a chance de (1) é 1/2 e as chances de (2) e (3) são cada 1/4, daí a chance de A vitórias é igual a 1/2 + 1/4 = 3/4 e a chance de B vencer é de 1/4. Esses cálculos se baseiam em axiomas de probabilidade, que foram finalmente resolvidos no início do século 20, mas foram essencialmente estabelecidos no outono de 1654 por Pascal e Fermat e popularizados em toda a Europa três anos depois por Christian Huyghens em seu breve tratado sobre probabilidade (o primeiro já publicado), De ratiociniis in ludo aleae (cálculo em jogos de azar).

A presente questão pode ser modelada como 100 lançamentos de moedas, com cabeças representando a morte e caudas representando a sobrevivência. O argumento para "1 em 100" (que realmente deve ser 1/101, a propósito) tem exatamente a mesma falha.

Por um lado, há um mágico vivo e 100 mágicos afogados, então suas chances são de 1 em 100.

Esse raciocínio pressupõe implicitamente que todo mago tem a mesma probabilidade de sobreviver no final do processo. No entanto, apenas o original teria de suportar todas as 100 tentativas e ele teria as piores probabilidades. Compare o original com o último clone criado; ele só precisa sobreviver uma vez e tem 1 em 2 chances de ser o único sobrevivente.

$\frac{1}{2^{100}}$

A probabilidade de que ele sobreviva é 1 em cada tentativa, e a probabilidade é 1 de que ele morra em todas as tentativas (apesar da falha no tanque de água). Após a duplicação, não há mais "ele"; existem "ele".