Como calcular a probabilidade do resultado desse mecânico de rolagem de dados complicado?

Esta pergunta pergunta sobre a probabilidade de sucesso em um RPG. No entanto, a pergunta e suas respostas não cobrem algumas das complexidades da mecânica dos dados. Em particular, ele não cobre falhas (um resultado possível).

Um jogador tem um conjunto de dados, com base em algum mecânico no jogo irrelevante para esta pergunta. Um conjunto de dados é um número variável de dados que um jogador pode jogar. Existem regras sobre quantos dados o jogador joga, mas isso é irrelevante para esta pergunta. Pode ser qualquer número de dados a partir de 1 (um único die) para cerca de 15. Eu estou chamando este P .

Os dados têm 10 lados rotulados de 1 a 10, inclusive (chamado de 'd10' em nossa terminologia de domínio)

Ao rolar dados, há um número alvo ou número de dificuldade. Como esse número é gerado está fora do escopo desta pergunta, mas o número pode estar entre 3 e 9, inclusive. As regras para isso são explicadas abaixo. Eu estou chamando este T .

Quando todos os dados são lançados, existem algumas regras para determinar o resultado:

• Qualquer dado igual ou superior a T é contado como um sucesso
• Qualquer dado igual a 1 subtrai sucessos

De tal modo que...

• Se, após a subtração (se aplicável), não houver um dado deixado maior ou igual a T, o resultado será uma falha.
• Se, após a subtração (se aplicável), houver pelo menos um dado restante maior ou igual a T, o resultado será um sucesso.
• Se nenhum dado rolado for maior ou igual a T e pelo menos um dado for 1, será uma falha.

Para um determinado conjunto P e alvo T, como você calcula a probabilidade de sucesso, falha ou falha nesse sistema?

Vou ter que resolver isso em etapas, conforme o tempo permitir. Espero que alguém dê uma abordagem completa (e provavelmente mais simples) antes de terminar.

Primeiro, vamos dar uma olhada nas falhas.

$n$

Se nenhum dado rolado for maior ou igual a T e pelo menos um dado for 1, será uma falha.

$P(\text{no dice }\geq T) = (\frac{T-1}{10})^n$

$P(\text{no } 1| \text{no dice }\geq T) = (\frac{T-2}{T-1})^n$

$P(\text{botch}) = [1- (\frac{T-2}{T-1})^n]\cdot (\frac{T-1}{10})^n$

$\hspace{2cm} = \frac{(T-1)^n-(T-2)^n}{10^n}$

(supondo que não cometi erros)

$P(\text{at least one success in total})$