Qual é a definição matemática dos parâmetros de localização / escala / forma?

Estou tentando entender a definição exata dos parâmetros de localização / escala / forma (por exemplo, é chamado parâmetro de forma é parâmetro de escala no Pareto Tipo I). Mas os livros aos quais me referi ( The Cambridge Dictionary of Statistics , HMC's Introduction to Mathematics Statistics , Feller's A Introduction to Probability Theory and its Applications , etc) somente (aparentemente) forneceram definições descritivas para esses parâmetros (o parâmetro de localização é chamado de parâmetro centralizador no campo de Feller). ) A Wikipedia forneceu definições em termos de cdf e pdf, mas sem nenhuma fonte fornecida. $a$ $c$

Com base nos conceitos de estatística não paramétrica (por exemplo, Cap.10 do HMC), suspeito que os parâmetros de localização / escala / forma possam ser definidos da seguinte maneira:

Deixe ser uma variável aleatória com CDF . Um parâmetro , onde é funcional, é um parâmetro de localização se $X$ $F_X$ $\theta=T(F_X)$ $T$ e é um parâmetro de escala se
$\begin{aligned} T (F_{X + a}) & = T (F_{X}) + a, & \forall a \in R, \\ T (F_{a X}) & = a T (F_{X}), & \forall a \neq 0; \end{aligned}$ $\begin{align*}T(F_{X+a})&=T(F_X)+a,&&\forall a\in\mathbb{R},\\ T(F_{aX})&=aT(F_X),&&\forall a\neq0;\end{align*}$ e é um parâmetro de forma se não for local nem escala. $\begin{aligned} T (F_{a X}) & = a T (F_{X}), & \forall a > 0, \\ T (F_{X + b}) & = T (F_{X}), & \forall b \in R, \\ T (F_{- X}) & = T (F_{X}); \end{aligned}$ $\begin{align*}T(F_{aX})&=aT(F_X),&&\forall a>0,\\ T(F_{X+b})&=T(F_X),&&\forall b\in\mathbb{R},\\ T(F_{-X})&=T(F_X);\end{align*}$

Estou correcto? Ou confundi alguns conceitos não relacionados?

mathematical-statistics nonparametric definition

— Francis
fonte

Minha intuição é que a existência de tal funcionalidade é única até a parametrização dos parâmetros. Não tenho certeza se tais funções sempre existem e não são necessariamente lineares. Além disso, acho que a segunda propriedade para o parâmetro location não é necessária.

— Gumeo

T

$T$

b

$b$

T + b

$T + b$

(T + b) (F) = T (F) + b

$(T+b)(F) = T(F)+b$

F

$F$

T

$T$

@whuber eu perdi isso ... eu concordo com você.

— Gumeo

T

$T$

μ

$\mu$

@Francis No conjunto de distribuições simétricas para as quais a média e a mediana são definidas, elas concordam, para que possam ser consideradas as mesmas funcionais. No entanto, acho que você está certo em contestar a implicação de que os parâmetros de localização devem ser únicos - eles não precisam ser.

— whuber

Frequentemente, é verdade que estes correspondem a (alguma função) do primeiro, segundo e terceiro momento, conforme observado por GuðmundurEinarsson. No entanto, existem exceções: por exemplo, para uma distribuição de Cauchy, Evans, Hastings e Peacock (2000) chamam o primeiro parâmetro de parâmetro de localização, mas representa a mediana em vez da média. A média nem sequer é definida para uma distribuição de Cauchy.

Uma descrição mais abrangente, mas menos precisa, seria:

o parâmetro location muda toda a distribuição para a esquerda ou direita
O parâmetro scale comprime ou estende toda a distribuição
o parâmetro shape altera a forma da distribuição de alguma outra maneira.

Merran Evans, Nicholas Hastings e Brian Peacock (2000) Statistical Distributions , terceira edição. Wiley.

— Maarten Buis
fonte

T (F_{X}) = F_{X}^{- 1} (1 / 2)

$T(F_X)=F_X^{-1}(1/2)$

1 / 2 = P (X + a < F_{X + a}^{- 1} (1 / 2)) = P (X + a < F_{X}^{- 1} (1 / 2) + a) = 1 / 2

$1/2=P(X+a<F_{X+a}^{-1}(1/2))=P(X+a<F_{X}^{-1}(1/2)+a)=1/2$

a > 0

$a>0$

a < 0

$a<0$

1 / 2 = P (a X < F_{a X}^{- 1} (1 / 2)) = P (a X < a F_{X}^{- 1} (1 / 2)) = 1 / 2.

$1/2=P(aX<F_{aX}^{-1}(1/2))=P(aX<aF_{X}^{-1}(1/2))=1/2.$ Eu suspeito que é assim que o parâmetro de localização está sendo definido para a distribuição Cauchy (é isso que você quer dizer com Gauchy, certo?).

— Francis

Meu erro: Gauchy deveria ter sido Cauchy. Eu editei a resposta para corrigi-lo.

— Maarten Buis

@ Maarten você pode querer mudar sua resposta, eu apaguei o meu para não invocar mais confusão.

— Gumeo