Conjunto de variáveis não correlacionadas, mas linearmente dependentes

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É possível ter um conjunto de variáveis não correlacionadas, mas linearmente dependentes? $K$

ie e $cor(x_i, x_j)=0$ $\sum_{i=1}^K a_ix_i=0$

Se sim, você pode escrever um exemplo?

EDIT: Das respostas, segue-se que não é possível.

Seria pelo menos possível que que é o coeficiente de correlação estimado estimado a partir de amostras das variáveis é uma variável que não está correlacionada com . $\mathbb{P}(|\hat \rho_{x_i, x_j}-\hat \rho_{x_i, v}|<\epsilon)$ $\hat\rho$ $n$ $v$ $x_i$

Estou pensando em algo como $x_K=\dfrac{1}{K} \sum_{i=1}^{K-1} x_i$ $K>>0$

correlation mathematical-statistics multicollinearity

— Donbeo
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Como mostra a resposta de @ RUser4512, variáveis aleatórias não correlacionadas não podem ser linearmente dependentes. Porém, variáveis aleatórias quase não correlacionadas podem ser linearmente dependentes, e um exemplo delas é algo caro ao coração do estatístico.

Suponha que é um conjunto de variáveis aleatórias não correlacionadas de variação unitária com média comum . Defina onde $\{X_i\}_{i=1}^K$ $K$ $\mu$ $Y_i = X_i - \bar{X}$ . Então,são variáveis aleatórias com média zero, tais que , ou seja, elas são linearmente dependentes. Agora, $\bar{X} = \frac 1K \sum_{i=1}^K X_i$ $Y_i$ $\sum_{i=1}^K Y_i = 0$ modo que

Y_{i} = \frac{K - 1}{K} X_{i} - \frac{1}{K} \sum_{j \neq i} X_{j}

$Y_i = \frac{K-1}{K} X_i - \frac 1K\sum_{j \neq i}X_j$

enquanto

var (Y_{i}) = {(\frac{K - 1}{K})}^{2} + \frac{K - 1}{K^{2}} = \frac{K - 1}{K}

$\operatorname{var}(Y_i) = \left(\frac{K-1}{K}\right)^2+\frac{K-1}{K^2} = \frac{K-1}{K}$

mostrando que o

sãoquaseas variáveis aleatórias não correlacionadas com o coeficiente de correlação

cov (Y_{i}, Y_{j}) = - 2 (\frac{K - 1}{K}) \frac{1}{K} + \frac{K - 2}{K^{2}} = \frac{- 1}{K}

$\operatorname{cov}(Y_i,Y_j) = -2\left(\frac{K-1}{K}\right)\frac 1K + \frac{K-2}{K^2}= \frac{-1}{K}$

Y_{i}

$Y_i$

.

- \frac{1}{K - 1}

$\displaystyle -\frac{1}{K-1}$

Veja também esta minha resposta anterior .

— Dilip Sarwate
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Este é um bom exemplo!

— precisa saber é o seguinte

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Não.

$a_i$ $a_1=1$

$K=2$ $x_1=-a_2x_2$ $cor(x_1,x_2)=-1$ $a_1$

$K$ $x_1=-\sum_{i>1}a_ix_i$ $cor(x_1,x_k)=-1$ $cor(x_1,x_k)=0$ $a_i$ $i>1$ $a_1$

— RUser4512
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\sum_{i} a_{i} x_{i} = 0

$\sum_i a_ix_i =0$

\sum_{i} a_{i}^{2} = 0

$\sum_i a_i^2 =0$

Resposta muito boa. Seria bom se você pudesse responder também à pergunta editada.

— Donbeo

v

$v$

x_{K}

$x_K$

c o r (x_{K}, x_{i}) = 1 / K

$cor(x_K, x_i)=1/K$

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$X$ $Y$

$\mathop{\mathrm{Cov}}(X,Y)= \mathop{\mathrm{E}}(XY)-\mathop{\mathrm{E}}(X)\mathop{\mathrm{E}}(Y)=0-0=0$

$X+Y=0$ $X$ $Y$

$X$ $Y$

— Karl Ove Hufthammer
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