O que há de 'momento' em 'momentos' de uma distribuição de probabilidade?

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EU SEI o que são momentos e como calculá-los e como usar a função de geração de momentos para obter momentos de ordem superior. Sim, eu sei matemática.

Agora que eu preciso lubrificar meu conhecimento de estatística para o trabalho, pensei em fazer essa pergunta - ela está me incomodando há alguns anos e, na faculdade, nenhum professor sabia a resposta ou simplesmente descartava a pergunta (honestamente) .

Então, o que a palavra "momento" significa neste caso? Por que essa escolha de palavra? Isso não parece intuitivo para mim (ou nunca ouvi isso dessa maneira na faculdade :) Venha pensar nisso: estou igualmente curioso com seu uso no "momento de inércia";), mas não vamos nos concentrar nisso por enquanto.

Então, o que significa um "momento" de uma distribuição e o que ela procura fazer e por que essa palavra! :) Por que alguém se importa com momentos? Neste momento, estou me sentindo diferente sobre esse momento;)

PS: Sim, eu provavelmente fiz uma pergunta semelhante sobre variação, mas valorizo a compreensão intuitiva sobre 'procurar no livro para descobrir' :)

— Doutorado
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Para a escolha da palavra, comece com sua etimologia .

— whuber

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@ whuber: sim! Pesquisei antes de fazer essa pergunta - há muitos anos também;)

— PhD

Eu combinaria a etimologia fornecida por @whuber com esta ( thefreedictionary.com/moment ) olhada na definição de matemática / estatística citada no Collins English Dictionary. Combinado com definições de uso comum, como "período curto" ou "instância específica". Estou bastante certo de que o momento em nosso sentido de matemática / estatística é intercambiável com pontos. Apenas esses pontos têm um significado particular em certas aplicações (MGF ou MOI) antes que a geometria e a álgebra de Descartes não possuíssem um vínculo sistemático; portanto, eles provavelmente tinham uma variedade de termos diferentes para o que realmente é a mesma coisa.

— 21711 Chris Chris,

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É de Macbeth: " Quem pode ser sábio, espantado, temperado e furioso, leal e neutro em um momento? " Macbeth: Ato ii. Sc. 3

— wolfies

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De acordo com o artigo "Primeira (?) Ocorrência de termos comuns em estatística matemática", de HA David, o primeiro uso da palavra 'momento' nessa situação foi em uma carta de 1893 à natureza de Karl Pearson intitulada "Curvas de frequência assimétrica" .

O artigo Biometrika de Neyman, de 1938, "Uma nota histórica sobre a dedução de Karl Pearson dos momentos do binômio " fornece uma boa sinopse da carta e do trabalho subsequente de Pearson sobre momentos da distribuição binomial e o método dos momentos. É uma leitura muito boa. Espero que você tenha acesso ao JSTOR, pois agora não tenho tempo para dar um bom resumo do artigo (embora eu o faça neste fim de semana). Embora eu cite uma peça que pode dar uma ideia do porquê do termo 'momento' ter sido usado. Do artigo de Neyman:

$\alpha$

Foi isso que acabou levando ao "método dos momentos". Neyman analisa a derivação de Pearson dos momentos binomiais no artigo acima.

E da carta de Pearson:

$s^{\text{th}}$ $d = c(1 + nq)$

Isso sugere que Pearson usou o termo "momento" como uma alusão ao "momento de inércia", um termo comum na física.

Aqui está uma varredura da maioria das cartas da Pearson's Nature :

insira a descrição da imagem aqui

Você pode ver o artigo inteiro na página 615 aqui .

— Nick Cox
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Posso dar +100 a esta resposta? ;)

— PhD

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@ Nupul, você pode dar +100 como recompensa. As recompensas podem ser concedidas quando a pergunta tiver dois dias.

— mpiktas 27/10/11

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@Nupul Observe as múltiplas referências de Pearson à "gravidade". Claramente, ele está argumentando com uma analogia física. Isso leva a questão de volta a por que a física usa o termo "momento" para essas coisas. Acredito que é simplesmente uma generalização natural da idéia de momento de inércia (um segundo momento), que você encontra referenciado nos links etimológicos para "momento". É por isso que a etimologia é relevante.

— whuber

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A física reconhece momentos mais altos que o segundo, Nupul, e as fórmulas são idênticas às da estatística. Apenas se traduz "densidade" de um objeto em "densidade de probabilidade". De fato, a física generalizou a idéia de que um momento é um coeficiente de expansão de uma série de potências em algum sistema de coordenadas apropriado.

— whuber

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@ Nupul Não sei se posso acrescentar algo além do que o whuber declarou. Estou pensando que qualquer coisa além do que vinculei na minha resposta e nos comentários do whuber provavelmente pode ser abordada mais detalhadamente no Physics SE . E se ainda não for "profundo" o suficiente, sempre haverá o SE inglês, cuja quinta tag mais usada é "etimologia". Mas, ótima pergunta! Gostei de pesquisar e encontrei 3 excelentes artigos que eu nunca soube que existiam.

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Todo mundo tem seu momento em momentos. Eu tinha o meu em nomes cumulantes e de momentos além da variação, assimetria e curtose , e passei algum tempo lendo esse tópico horrível.

Estranhamente, não encontrei a "menção de momento" no artigo de HA David. Então, fui a Karl Pearson: A vida científica em uma era estatística , um livro de TM Porter, e Karl Pearson e as origens da estatística moderna: um elástico. torna-se estatístico.Ele, por exemplo, editou A History of the Theory of Elasticity and the Strength of Materials from Galilei to the Present Time .

Sua formação era muito ampla e ele era notavelmente professor de engenharia e elástico, envolvido na determinação dos momentos fletores de uma ponte e no cálculo de tensões em barragens de alvenaria. Na elasticidade, apenas se observa o que está acontecendo (ruptura) de maneira limitada. Ele aparentemente estava interessado (no livro de Porter):

cálculo gráfico ou, na sua forma mais digna e matemática, estática gráfica.

Mais tarde :

Desde o início de sua carreira estatística, e mesmo antes disso, ele ajustou as curvas usando o "método dos momentos". Na mecânica, isso significava combinar um corpo complicado com um corpo simples ou abstrato que tivesse o mesmo centro de massa e "raio de giro", respectivamente no primeiro e no segundo momento. Essas quantidades correspondiam em estatística à média e à dispersão ou dispersão das medições em torno da média.

E desde:

Pearson lidava com intervalos de medição discretos, essa era uma soma e não uma integral

Momentos de inércia podem representar um resumo de um corpo em movimento: os cálculos podem ser realizados como se o corpo fosse reduzido a um único ponto.

Pearson estabeleceu essas cinco igualdades como um sistema de equações, que se combinaram em um do nono grau. Uma solução numérica só foi possível por aproximações sucessivas. Poderia ter havido até nove soluções reais, embora no presente caso houvesse apenas duas. Ele representou graficamente os dois resultados ao lado do original e ficou geralmente satisfeito com a aparência do resultado. No entanto, ele não confiou na inspeção visual para decidir entre eles, mas calculou o sexto momento para decidir a melhor correspondência

Vamos voltar à física. Um momento é uma quantidade física que leva em consideração o arranjo local de uma propriedade física, geralmente em relação a um determinado ponto ou eixo ordinal (classicamente no espaço ou no tempo). Ele resume quantidades físicas medidas a alguma distância de uma referência. Se a quantidade não estiver concentrada em um único ponto, o momento é "calculado em média" em todo o espaço, por meio de integrais ou somas.

Aparentemente, o conceito de momentos pode ser rastreado até a descoberta do princípio de operação da alavanca "descoberta" por Arquimedes. Uma das primeiras ocorrências conhecidas é a palavra latina "momentorum", com o sentido atual aceito (momento sobre um centro de rotação). Em 1565, Federico Commandino traduziu a obra de Arquimedes (Liber de Centro Gravitatis Solidorum) como:

O centro de gravidade de cada figura sólida é o ponto dentro dela, sobre o qual, de todos os lados, partes do mesmo momento estão.

ou

Centrum gravitatis uniuscuiusque solidae figurae é pontual illud intra positivo, cerca de undique partes aequalium momentorum

Então, aparentemente, a analogia com a física é bastante forte: a partir de uma forma física discreta complicada, encontre quantidades que a aproximem suficientemente, uma forma de compressão ou parcimônia.

— Laurent Duval
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Por ser excessivamente simplista, os momentos estatísticos são descritores adicionais de uma curva / distribuição. Estamos familiarizados com os dois primeiros momentos e, geralmente, são úteis para distribuições normais contínuas ou curvas semelhantes. No entanto, esses dois primeiros momentos perdem seu valor informacional para outras distribuições. Assim, outros momentos fornecem informações adicionais sobre a forma / forma da distribuição.

— Daniel I Shostak
fonte

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Não creio que o significado dos dois primeiros momentos perca significado para todas as distribuições não normais, por exemplo, o tempo médio de permanência é geralmente o primeiro momento ou a média integral de vezes em uma série temporal.

— Carl

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Pergunta: Então, o que a palavra "momento" significa neste caso? Por que essa escolha de palavra? Isso não parece intuitivo para mim (ou nunca ouvi isso dessa maneira na faculdade :) Venha pensar nisso: estou igualmente curioso com seu uso no "momento de inércia";), mas não vamos nos concentrar nisso por enquanto.

Resposta: Na verdade, em um sentido histórico, provavelmente é o momento de inércia de onde vem o sentido da palavra momentos. De fato, pode-se (como abaixo) mostrar como o momento de inércia se relaciona com a variação. Isso também produz uma interpretação física dos momentos superiores.

Na física, um momento é uma expressão que envolve o produto de uma distância e uma quantidade física e, dessa forma, explica como a quantidade física é localizada ou organizada. Momentos são geralmente definidos em relação a um ponto de referência fixo; eles lidam com quantidades físicas medidas a alguma distância desse ponto de referência. Por exemplo, o momento da força que atua sobre um objeto, geralmente chamado de torque, é o produto da força e a distância de um ponto de referência, como no exemplo abaixo.

$\dfrac{d\omega}{dt}=\alpha,\,\dfrac{d\theta}{dt}=\omega$ $\theta$

β (x; α, β) = \begin{array}{cc} { & \begin{array}{cc} \frac{x^{α - 1} (1 - x)^{β - 1}}{B (α, β)} & 0 < x < 1 \\ 0 & True \end{array} \end{array},

$\beta(x;\alpha,\beta)=\begin{array}{cc} \Bigg\{ & \begin{array}{cc} \dfrac{x^{\alpha -1} (1-x)^{\beta -1}}{B(\alpha ,\beta )} & 0<x<1 \\ 0 & \text{True} \\ \end{array} \\ \end{array}\,,$

B (α, β) = \frac{Γ (α) Γ (β)}{Γ (α + β)}

$B(\alpha,\beta)=\dfrac{\Gamma(\alpha)\,\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}$

Γ (.)

$\Gamma(.)$

Γ (z) = \int_{0}^{\infty} x^{z - 1} e^{- x} d x

$\Gamma(z) = \int_0^\infty x^{z-1} e^{-x}\,dx$

$z$ $x$ $x,y$

μ = \int_{0}^{1} r β (r; α, β) d r = \frac{α}{α + β},

$\mu=\int_0^1r\,\beta(r;\alpha,\beta)\,dr=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\,,$

β (r; 2, 2)

$\beta(r;2,2)$

μ = \frac{1}{2}

$\mu=\dfrac{1}{2}$

$0\leq r\leq1$ $2\leq r\leq4$

$r$ $z$

σ^{2} = \int_{0}^{1} (r - μ)^{2} β (r; α, β) d r = \frac{α β}{(α + β)^{2} (α + β + 1)},

$\sigma^2=\int_0^1 (r-\mu)^2 \beta(r;\alpha,\beta) \, dr =\frac{\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^2 (\alpha +\beta +1)}\,,$

β (r; 2, 2)

$\beta(r;2,2)$

I = σ^{2} = \frac{1}{20}

$I=\sigma^2=\dfrac{1}{20}$

I

$I$

$n^{\text{th}}$

\int_{0}^{1} (r - μ)^{n} β (r; α, β) d r .

$\int_0^1 (r-\mu)^n \beta(r;\alpha,\beta) \, dr\,.$

n^{th}

$n^{\text{th}}$

E se quisermos calcular ao contrário, ou seja, pegar um objeto sólido 3D e transformá-lo em uma função de probabilidade? As coisas ficam um pouco mais complicadas. Por exemplo, vamos pegar um toro .

$r$ $z$

$I$ $\sigma^2$ $I=\dfrac{\tau}{a}$ $\tau$ $a$

— Carl
fonte

A conexão entre momentos e derivadas é obscura. (Definitivamente existe, mas o relacionamento geralmente é revelado através da Transformação de Fourier.) Você poderia mostrar explicitamente como e por que os momentos podem ser interpretados como derivados? Como é que isso funciona?

— whuber

@whuber Mais tarde, enquanto isso, veja o link dos momentos acima, mostra ||.

— Carl Carl

Obrigado. Eu vejo essa página e recebo um vislumbre do que você está se referindo, mas a conexão com momentos de uma distribuição não é clara. Estou intrigado e aguardo com expectativa a sua elaboração adicional dessa idéia.

— whuber

@whuber Confira e veja se você concorda.

— Carl

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x

$x$

x = e^{i q}

$x=e^{iq}$

q

$q$