Por que o PDF da Dirichlet Distribution parece não ser integrado a 1?

Eu tenho tentado encontrar o valor esperado de uma função de uma variável aleatória com uma distribuição de Dirichlet, integrando seu produto à função de densidade de Dirichlet sobre um simplex em R.

Para verificar se eu estava aplicando a função correta em R, tentei integrar a função de densidade em todo o simplex, esperando obter 1, no entanto, continuei obtendo que a função de densidade para uma distribuição Dirichlet com n categorias integradas ao sqrt (n) (usando Pacote R SimplicialCubature).

Eu assumi que isso deve estar errado, mas então eu olhei para a função de densidade para 2 categorias, considere o caso em que os alfas = (1,1). Em seguida, a função de densidade é uniformemente 1 (usando a função de densidade em https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_distribution ). Portanto, a integral da função de densidade sobre o 1-simplex fornece apenas o comprimento do 1-simplex. Mas isso é sqrt (2), como descobri com o código R.

O que estou perdendo aqui?

Com duas variáveis, você está definindo um segmento de linha em , como você apontou. No entanto, devido à restrição simplex, uma dessas duas variáveis ​​é redundante em termos de especificação da densidade, pois existe uma relação de um para um entre x 1 e x 2 . Portanto, a densidade é especificada sobre variáveis ​​livres K - 1 (ou seja, em R )$\mathbb{R}^2$$x_1$$x_2$$K-1$$\mathbb{R}$

Isso é realmente apontado na primeira linha desta seção do artigo da Wikipedia, embora muito sutilmente.

Portanto, sua função de densidade se torna :.

$$Dir_{1,1}(x_1,1-x_1)=\frac{\Gamma(2)}{\Gamma(1)^2}(x_1)^0(1-x_1)^0=1$$

Portanto,

$$\int_0^1 Dir_{1,1}(x_1,1-x_1) dx_1 = 1$$

---

Resposta ao comentário do OP

Devido aos constrangimentos simplex, o de duas variáveis Dirichlet densidade é, na verdade, degenerado em , como mostrado pela minha construção acima (que requer apenas uma variável). Embora seja verdade que tenha uma densidade de 1 , ela não tem uma densidade de 1 no segmento de linha que conecta ( 1 , 0 ) a ( 0 , 1 ) . O que a construção acima mostra é que a densidade marginal tem um valor de 1 . Sua confusão vem de pensar em x 2 como uma variável livre; nesse caso, o apoio do Dirichlet em$\mathbb{R}^2$$1$$1$$(1,0)$$(0,1)$$1$$x_2$ teria uma área diferente de zero. Essa intuição é boa em casos como o gaussiano bivariado, onde as duas variáveis ​​não estão perfeitamente correlacionadas, mas não neste caso.$\mathbb{R}^2$

Podemos derivar formalmente da seguinte maneira:

Seja um número em [ 0 , $L$$[0,\sqrt{2}]$$(1,0)$$(0,1)$$L$$(x_ 1,x_2)$$1$

$$P(L \in [a,b] \subset)=b-a$$

$x_1,x_2$

$$P_L(L\in [a,b])=P_{X_1,X_2}[(x_1,x_2) \in A_{[a,b]}]$$

$A_{[a,b]}:= \{(u,v): u \in [1-\frac{b}{\sqrt{2}},1-\frac{a}{\sqrt{2}}], v = 1- u]$

$P_L(L\in [a,b])$

$$P_L(L\in [a,b])= \int_{A_{[a,b]}} dP_{X_1,X_2}= \int_{A_{[a,b]}} dP_{X_1}dP_{X_2|X_1} =\int_{A_{[a,b]}} 1 \;dP_{X_1} = \int_{1-\frac{b}{\sqrt{2}}}^{1-\frac{a}{\sqrt{2}}}1\; du =$$

$$\left(1-\frac{a}{\sqrt{2}}\right) - \left(1-\frac{b}{\sqrt{2}}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}(b-a)$$

$dP_{X_2|X_1} = 1$$X_2=1-X_1$$1-X_1$

$\frac{1}{\sqrt{2}}$$\mathbb{R}^2$$1$$\sqrt{2}$