Variável aleatória univariada X, Y com : são independentes?

Seja $X:\Omega\to\mathbb{R}$ e $Y:\Omega\to\mathbb{R}$ sejam variáveis aleatórias univariadas com CDF $F_{X,Y}(x,y)$ tais que:

F_{X, Y} (x, y) = G_{1} (x) G_{2} (y), \forall (x, y) \in R \times R

$F_{X,Y}(x,y)=G_1(x)G_2(y),\forall (x,y)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ que

G_{1} : R \to R

$G_1:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ,

G_{2} : R \to R

$G_2:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ são funções conhecidas.

Pergunta : É verdade que $X$ e $Y$ são RVs independentes?

Alguém pode me dar algumas dicas?

Tentei:

F_{X} (x) = lim_{y \to \infty} F_{X, Y} (x, y) = lim_{y \to \infty} G_{1} (x) G_{2} (y) = G_{1} (x) \cdot lim_{y \to \infty} G_{2} (y)

$F_X(x)=\lim_{y\to\infty}F_{X,Y}(x,y)=\lim_{y\to\infty}G_1(x)G_2(y)=G_1(x)\cdot\lim_{y\to\infty}G_2(y)$ mas não sei por que (ou se)

lim_{y \to \infty} G_{2} (y) = 1

$\lim_{y\to\infty}G_2(y)=1$ .

random-variable joint-distribution

— Guilherme Salomé
fonte

O relacionamento válido para todos e ou apenas para um específico ?

F_{X, Y} (x, y) = G_{1} (x) G_{2} (y)

$F_{X,Y}(x,y)=G_1(x)G_2(y)$

x

$x$

y

$y$

(x, y)

$(x,y)$

— Dilip Sarwate

Além disso, o CDF?

F_{X, Y} (x, y)

$F_{X,Y}(x,y)$

— Vimal

Você está tentando perguntar se saber como fatorar a função de distribuição de uma variável aleatória bivariada em um produto de funções de e separadamente é suficiente para concluir que e são independentes?

(X, Y)

$(X,Y)$

x

$x$

y

$y$

X

$X$

Y

$Y$

— whuber

Desculpe pela confusão, vou editar a pergunta agora. é o CDF e a propriedade é válida para todos os .

F_{X, Y} (x, y)

$F_{X,Y}(x,y)$

x, y

$x,y$

— Guilherme Salomé

lim_{y \to \infty} G_{2} (y) = 1

$\lim_{y\to\infty}G_2(y)=1$ não precisa ser verdadeiro. Considere e e considere que mas ambos e não podem ter um limite de 1.

H_{1} (x) = G_{1} (x) * 0.5

$H_1(x) = G_1(x) * 0.5$

H_{2} (y) = G_{2} (y) * 2

$H_2(y) = G_2(y) * 2$

F_{X, Y} (x, y) = H_{1} (x) H_{2} (y)

$F_{X,Y}(x,y)=H_1(x)H_2(y)$

G_{1}

$G_1$

H_{1}

$H_1$

— bsdfish 14/10/2015

Sim, é verdade que essas suposições implicam que e são independentes. $X$ $Y$

Simplifique a notação escrevendo . Por definição, $F = F_{X,Y}$

F (x, y) = Pr (X \leq x, Y \leq y) .

$F(x,y) = \Pr(X \le x, Y \le y).$

Portanto, o limite de medida que aumenta sem limite existe e é a chance de que não exceda : $F(x,y)$ $y$ $X$ $x$

F_{X} (x) = Pr (X \leq x) = lim_{y \to \infty} F (x, y) = G_{1} (x) lim_{y \to \infty} G_{2} (y) .

$F_X(x) = \Pr(X \le x) = \lim_{y\to\infty} F(x,y) = G_1(x) \lim_{y\to\infty} G_2(y).$

Escolhendo qualquer para o qual mostre é diferente de zero. (Esse deve existir pela lei da probabilidade total, que afirma ). $x$ $F_X(x)\ne 0$ $G_2^\infty = \lim_{y\to\infty}G_2(y)$ $x$ $\lim_{x\to\infty}F_X(x)=1$

G_{1} (x) = \frac{F_{X} (x)}{G_{2}^{\infty}}

$G_1(x) = \frac{F_X(x)}{G_2^\infty}$

para todos . Trocando os papéis de e e usando notação análoga, $x$ $X$ $Y$

G_{2} (y) = \frac{F_{Y} (y)}{G_{1}^{\infty}}

$G_2(y) = \frac{F_Y(y)}{G_1^\infty}$

para todos . Tomando o limite da articulação quando e crescem sem mostrar limites $y$ $x$ $y$

1 = lim_{x, y \to \infty} F (x, y) = G_{1}^{\infty} G_{2}^{\infty} .

$1 = \lim_{x,y\to\infty} F(x,y) = G_1^\infty G_2^\infty.$

Portanto

F (x, y) = G_{1} (x) G_{2} (y) = \frac{F_{X} (x) F_{Y} (y)}{G_{1}^{\infty} G_{2}^{\infty}} = F_{X} (x) F_{Y} (y),

$F(x,y) = G_1(x)G_2(y) = \frac{F_X(x)F_Y(y)}{G_1^\infty G_2^\infty} = F_X(x)F_Y(y),$

demonstrando e são independentes. $X$ $Y$

— whuber
fonte

O curioso é que e podem ser funções com valores negativos , digamos, e e tudo continuará sendo trabalhar bem.

G_{1} (\cdot)

$G_1(\cdot)$

G_{2} (\cdot)

$G_2(\cdot)$

G_{1}^{\infty} = - 2

$G_1^\infty = -2$

G_{2}^{\infty} = - \frac{1}{2}

$G_2^\infty = -\frac 12$

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate: não é muito curioso em que, se satisfaz a relação, faz assim , então você pode seguramente assumir tanto e são positivos-valorizado. Da mesma forma, se satisfizer a relação, o mesmo acontece , para qualquer .

(G_{1}, G_{2})

$(G_1,G_2)$

(- G_{1}, - G_{2})

$(-G_1,-G_2)$

G_{1}

$G_1$

G_{2}

$G_2$

(G_{1}, G_{2})

$(G_1,G_2)$

(α G_{1}, α^{- 1} G_{2})

$(\alpha G_1,\alpha^{-1} G_2)$

α \in R^{*}

$\alpha\in\mathbb{R}^*$

— Xi'an

@ Xi'an eu entendo perfeitamente bem. Eu só queria enfatizar (já que o OP estava imaginando como mostrar que tinha o valor limite como o que significava que ele estava querendo e ) que a fatoração implica que e são independentes sem que seja necessariamente verdade que para todos os ; para todos os funciona da mesma forma.

G_{2} (y)

$G_2(y)$

1

$1$

y \to \infty

$y\to\infty$

G_{1} = F_{X}

$G_1=F_X$

G_{2} = F_{Y}

$G_2=F_Y$

F_{X, Y} (x, y) = G_{1} (x) G_{2} (y) \forall x, y

$F_{X,Y}(x,y)=G_1(x)G_2(y)~\forall~x,y$

X

$X$

Y

$Y$

G_{1} (x) \geq 0, G_{2} (y) \geq 0

$G_1(x) \geq 0, G_2(y) \geq 0$

x, y

$x, y$

G_{1} (x) \leq 0, G_{2} (y) \leq 0

$G_1(x) \leq 0, G_2(y) \leq 0$

x, y

$x, y$

— Dilip Sarwate

@Dilip O pode até ter valores complexos se você quiser :-).

G_{i}

$G_i$

— whuber

@KiranK. A pergunta é: "Se um CDF conjunto puder ser expresso como , então e independentes? " para a qual a resposta é Sim e requer um pouco de trabalho para mostrar isso. Se ele não reivindicado que e são válidas CDFs; se você insistir em incluir essa afirmação, a resposta é trivialmente Sim, porque uma das definições de RV independente é que o CDF conjunto é fator de entrada no produto dos CDFs marginais.

F_{X, Y} (x, y)

$F_{X,Y}(x,y)$

F_{X, Y} (x, y) = G_{1} (x) G_{2} (y) \forall x, y

$F_{X,Y}(x,y)=G_1(x)G_2(y)~\forall x,y$

X

$X$

Y

$Y$

G_{1} (x)

$G_1(x)$

G_{2} (y)

$G_2(y)$

— precisa saber é o seguinte