Metade de uma variável aleatória discreta?

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Seja uma variável aleatória discreta, levando seus valores em . Gostaria de dividir pela metade essa variável, ou seja, para encontrar uma variável aleatória , como: $X$ $\mathbb{N}$ $Y$

X = Y + Y^{*}

$X = Y + Y^*$

onde é uma cópia independente de . $Y^*$ $Y$

Estou me referindo a esse processo como metade ; essa é uma terminologia inventada. Existe um termo adequado encontrado na literatura para esta operação?
Parece-me que esse sempre existe apenas se aceitarmos probabilidades negativas. Estou correto em minha observação? $Y$
Existe uma noção de melhor ajuste positivo para ? Também é a variável aleatória que seria a "mais próxima" para resolver a equação acima. $Y$

Obrigado!

random-variable

— Joannes Vermorel
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Nos casos em que você não pode "reduzir pela metade" exatamente, existem várias definições possíveis de "mais próximo"; isso depende do que você deseja otimizar.

— Glen_b -Reinstala Monica

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Uma noção fortemente relacionada a essa propriedade (se mais fraca) é a decomposição . Uma lei decomponível é uma distribuição de probabilidade que pode ser representada como a distribuição de uma soma de duas (ou mais) variáveis aleatórias independentes não triviais. (E uma lei indecomponível não pode ser escrita dessa maneira. O "ou mais" é definitivamente irrelevante.) Uma condição necessária e suficiente para a decomposição é que a função característica é o produto de duas (ou mais) funções características.

ψ (t) = E [\exp {i t X}]

$\psi(t)=\mathbb{E}[\exp\{itX\}]$

Não sei se a propriedade que você considera já tem ou não um nome na teoria da probabilidade, talvez ligada à divisibilidade infinita . Qual é uma propriedade muito mais forte de , mas que inclui essa propriedade: todos os RVs infinitamente divisíveis satisfazem essa decomposição. $X$

Uma condição necessária e suficiente para essa "divisibilidade primária" é que a raiz da função característica seja novamente uma função característica.

ψ (t) = E [\exp {i t X}]

$\psi(t)=\mathbb{E}[\exp\{itX\}]$

No caso de distribuições com suporte a números inteiros, raramente é esse o caso, pois a função característica é um polinômio em . Por exemplo, uma variável aleatória Bernoulli não é decomponível. $\exp\{it\}$

Como apontado na página da Wikipedia sobre decomposição , também existem distribuições absolutamente contínuas que não são decompostas, como aquela com densidade

f (x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{2 π}} \exp {- x^{2} / 2}

$f(x)=\frac{x^2}{\sqrt{2\pi}}\exp\{-x^2/2\}$

Caso a função característica de seja real, o teorema de Polya pode ser usado: $X$

Teorema de Pólya. Se φ é uma função contínua, com valor real, que satisfaz as condições
φ(0) = 1,
φ is convex on (0,∞),
φ(∞) = 0,
então φ é a função característica de uma distribuição simétrica absolutamente contínua.

De fato, neste caso, é novamente com valor real. Portanto, uma condição suficiente para ser divisível primário é que φ é raiz-convexa. Mas se aplica apenas a distribuições simétricas, sendo de uso muito mais limitado do que o teorema de Böchner, por exemplo. $\varphi^{1/2}$ $X$

— Xi'an
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Existem alguns casos especiais em que isso é verdadeiro, mas para uma variável aleatória discreta arbitrária , sua "metade" não é possível.

A soma de duas variáveis aleatórias binomiais independentes é uma variável aleatória binomial e, portanto, um binômio pode ser "dividido pela metade". Exercício: descubra se uma variável aleatória Binomial pode ser "reduzida à metade". $(n,p)$ $(2n,p)$ $(2n,p)$
$(2n+1,p)$
Da mesma forma, uma variável aleatória Binomial Negativa pode ser "reduzida à metade". $(2n,p)$
A soma de duas variáveis aleatórias independentes de Poisson é um Poisson ; por outro lado, uma variável aleatória Poisson é a soma de duas variáveis aleatórias independentes Poisson . De fato, como @ Xi'an aponta em um comentário, uma variável aleatória Poisson pode ser "dividida pela metade" quantas vezes quisermos: para cada número inteiro positivo , é a soma de Poisson variáveis aleatórias . $(\lambda)$ $(2\lambda)$ $(\lambda)$ $(\frac{\lambda}{2})$ $(\lambda)$ $n$ $2^n$ $\left(\frac{\lambda}{2^n}\right)$

— Dilip Sarwate
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+1 Minha lembrança é que o uniforme discreto é um caso específico em que não é possível (acredito que existem muitos outros, mas é o que eu observei).

— Glen_b -Reinstala Monica

De fato, uma distribuição uniforme é decomponível, mas não divisível no sentido acima.

— Xi'an

2

A distribuição de Poisson é um exemplo de distribuição infinitamente divisível, portanto pode ser dividida na soma de um número arbitrário de variáveis iid.

— Xi'an

-1

Parece-me que o problema é que você solicita uma "cópia independente"; caso contrário, você pode multiplicar com ? Em vez de escrever uma cópia (uma cópia sempre depende), talvez você escreva "duas variáveis aleatórias independentes, mas identicamente distribuídas". $\frac{1}{2}$

Para responder suas perguntas,

o que mais se aproxima é talvez o termo convolução. Para um dado , você está olhando para dois RV iid com convolução . $X$ $X$
se você aceitar probabilidades negativas, essas não serão mais variáveis aleatórias, pois não haverá mais espaço de probabilidade. Há casos em que você pode encontrar esses ( -Poisson distribuído, , -Poisson distribuído) e casos em que isso não é possível ( Bernoulli, como exemplo). $Y,Y^*$ $X$ $\lambda$ $Y$ $Y^*$ $\frac{\lambda}{2}$ $X$
não vi nenhum e não consigo imaginar como formalizar o melhor ajuste possível. Geralmente, as aproximações às variáveis aleatórias são medidas por uma norma no espaço das variáveis aleatórias. Não consigo pensar em aproximações de variáveis aleatórias por ou para variáveis não aleatórias.

Espero poder ajudar.

— mattd
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