Metade de uma variável aleatória discreta?


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Seja uma variável aleatória discreta, levando seus valores em . Gostaria de dividir pela metade essa variável, ou seja, para encontrar uma variável aleatória , como:N YXNY

X=Y+Y

onde é uma cópia independente de . YYY

  • Estou me referindo a esse processo como metade ; essa é uma terminologia inventada. Existe um termo adequado encontrado na literatura para esta operação?
  • Parece-me que esse sempre existe apenas se aceitarmos probabilidades negativas. Estou correto em minha observação?Y
  • Existe uma noção de melhor ajuste positivo para ? Também é a variável aleatória que seria a "mais próxima" para resolver a equação acima.Y

Obrigado!


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Nos casos em que você não pode "reduzir pela metade" exatamente, existem várias definições possíveis de "mais próximo"; isso depende do que você deseja otimizar.
Glen_b -Reinstala Monica

Respostas:


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Uma noção fortemente relacionada a essa propriedade (se mais fraca) é a decomposição . Uma lei decomponível é uma distribuição de probabilidade que pode ser representada como a distribuição de uma soma de duas (ou mais) variáveis ​​aleatórias independentes não triviais. (E uma lei indecomponível não pode ser escrita dessa maneira. O "ou mais" é definitivamente irrelevante.) Uma condição necessária e suficiente para a decomposição é que a função característica é o produto de duas (ou mais) funções características.

ψ(t)=E[exp{itX}]

Não sei se a propriedade que você considera já tem ou não um nome na teoria da probabilidade, talvez ligada à divisibilidade infinita . Qual é uma propriedade muito mais forte de , mas que inclui essa propriedade: todos os RVs infinitamente divisíveis satisfazem essa decomposição.X

Uma condição necessária e suficiente para essa "divisibilidade primária" é que a raiz da função característica seja novamente uma função característica.

ψ(t)=E[exp{itX}]

No caso de distribuições com suporte a números inteiros, raramente é esse o caso, pois a função característica é um polinômio em . Por exemplo, uma variável aleatória Bernoulli não é decomponível.exp{it}

Como apontado na página da Wikipedia sobre decomposição , também existem distribuições absolutamente contínuas que não são decompostas, como aquela com densidade

f(x)=x22πexp{x2/2}

Caso a função característica de seja real, o teorema de Polya pode ser usado:X

Teorema de Pólya. Se φ é uma função contínua, com valor real, que satisfaz as condições

φ(0) = 1,
φ is convex on (0,∞),
φ(∞) = 0,

então φ é a função característica de uma distribuição simétrica absolutamente contínua.

De fato, neste caso, é novamente com valor real. Portanto, uma condição suficiente para ser divisível primário é que φ é raiz-convexa. Mas se aplica apenas a distribuições simétricas, sendo de uso muito mais limitado do que o teorema de Böchner, por exemplo. Xφ1/2X


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Existem alguns casos especiais em que isso é verdadeiro, mas para uma variável aleatória discreta arbitrária , sua "metade" não é possível.

  • A soma de duas variáveis ​​aleatórias binomiais independentes é uma variável aleatória binomial e, portanto, um binômio pode ser "dividido pela metade". Exercício: descubra se uma variável aleatória Binomial pode ser "reduzida à metade".( 2 n , p ) ( 2 n , p ) ( 2 n + 1 , p )(n,p)(2n,p)(2n,p)
    (2n+1,p)

  • Da mesma forma, uma variável aleatória Binomial Negativa pode ser "reduzida à metade".(2n,p)

  • A soma de duas variáveis ​​aleatórias independentes de Poisson é um Poisson ; por outro lado, uma variável aleatória Poisson é a soma de duas variáveis ​​aleatórias independentes Poisson . De fato, como @ Xi'an aponta em um comentário, uma variável aleatória Poisson pode ser "dividida pela metade" quantas vezes quisermos: para cada número inteiro positivo , é a soma de Poisson variáveis ​​aleatórias .( 2 λ ) ( λ ) ( λ(λ)(2λ)(λ)(λ)n2n(λ(λ2)(λ)n2n(λ2n)


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+1 Minha lembrança é que o uniforme discreto é um caso específico em que não é possível (acredito que existem muitos outros, mas é o que eu observei).
Glen_b -Reinstala Monica

De fato, uma distribuição uniforme é decomponível, mas não divisível no sentido acima.
Xi'an

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A distribuição de Poisson é um exemplo de distribuição infinitamente divisível, portanto pode ser dividida na soma de um número arbitrário de variáveis ​​iid.
Xi'an

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Parece-me que o problema é que você solicita uma "cópia independente"; caso contrário, você pode multiplicar com ? Em vez de escrever uma cópia (uma cópia sempre depende), talvez você escreva "duas variáveis ​​aleatórias independentes, mas identicamente distribuídas".12

Para responder suas perguntas,

  • o que mais se aproxima é talvez o termo convolução. Para um dado , você está olhando para dois RV iid com convolução .XXX

  • se você aceitar probabilidades negativas, essas não serão mais variáveis ​​aleatórias, pois não haverá mais espaço de probabilidade. Há casos em que você pode encontrar esses ( -Poisson distribuído, , -Poisson distribuído) e casos em que isso não é possível ( Bernoulli, como exemplo). X λ Y Y λY,YX λYY Xλ2X

  • não vi nenhum e não consigo imaginar como formalizar o melhor ajuste possível. Geralmente, as aproximações às variáveis ​​aleatórias são medidas por uma norma no espaço das variáveis ​​aleatórias. Não consigo pensar em aproximações de variáveis ​​aleatórias por ou para variáveis ​​não aleatórias.

Espero poder ajudar.

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