invariância da correlação com a transformação linear:

Na verdade, esse é um dos problemas da 4ª edição da Econometria básica de Gujarati (Q3.11) e diz que o coeficiente de correlação é invariável em relação à mudança de origem e escala, que é onde , , , são constantes arbitrárias.

corr (a X + b, c Y + d) = corr (X, Y)

$\text{corr}(aX+b, cY+d) = \text{corr}(X,Y)$

a

$a$

b

$b$

c

$c$

d

$d$

Mas minha pergunta principal é a seguinte: Seja e observações emparelhadas e suponha que e estejam correlacionados positivamente, ou seja, . Eu sei que seria negativo com base na intuição. No entanto, se considerarmos , segue-se que que faz Não faz sentido. $X$ $Y$ $X$ $Y$ $\text{corr}(X,Y)>0$ $\text{corr}(-X,Y)$ $a=-1, b=0, c=1, d=0$

corr (- X, Y) = corr (X, Y) > 0

$\text{corr}(-X,Y) = \text{corr}(X,Y) >0$

Eu apreciaria se alguém pudesse apontar a lacuna. Obrigado.

— Daniel
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Se o livro realmente diz o que você diz, está errado; você precisa de um

a c > 0

$ac>0$

— Glen_b -Reinstar Monica

@Glen_b Sim, acho que o livro declara isso incorretamente, a menos que eu seja cego, pois não vejo realmente nenhuma condição imposta às constantes.

— Daniel

Pode ser que a escala seja entendida como uma quantidade positiva.

— Xian

@ Xi'an Poderia ser, mas eu não acho que esteja indicado no livro. Mas, muito obrigado pela edição e pela resposta, a propósito :) #

— Daniel Daniel

Como e a igualdade somente é válido quando e são positivos ou negativos, ou seja, .

corr (X, Y) = \frac{cov (X, Y)}{var (X)^{1 / 2} var (Y)^{1 / 2}}

$\text{corr}(X,Y)=\frac{\text{cov}(X,Y)}{\text{var}(X)^{1/2}\,\text{var}(Y)^{1/2}}$

cov (a X + b, c Y + d) = a c cov (X, Y)

$\text{cov}(aX+b,cY+d)=ac\,\text{cov}(X,Y)$

corr (a X + b, c Y + d) = corr (X, Y)

$\text{corr}(aX+b, cY+d) = \text{corr}(X,Y)$

a

$a$

c

$c$

a c > 0

$ac>0$

— Xi'an
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