O valor médio de um dado selecionado a partir de uma série infinita de rolos

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Se eu rolar um par de dados um número infinito de vezes e sempre selecionar o valor mais alto dos dois, a média esperada dos valores mais altos excederá 3,5?

Parece que deve ser porque, se eu jogasse um milhão de dados e selecionasse o valor mais alto de cada vez, as chances são enormes de que seis estivessem disponíveis em cada jogada. Assim, a média esperada teria que ser algo como 5.999999999999 ...

No entanto, não consigo descobrir qual seria o valor esperado no meu exemplo usando apenas 2 dados. Alguém pode me ajudar a chegar a um número? Seria apenas superior a 3,5? Isso é algo que pode ser calculado?

dice

— Jason
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Você pode enumerar o espaço de amostra? Liste as possibilidades para o exemplo de 2 dados.

— soakley

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O experimento também pode ser simulado. Essa abordagem é útil quando a enumeração é difícil (como rolar 3 dados).

# fix the seed for reproducibility
set.seed(123)

# simulate pair of dice
rolls = matrix(sample(1:6, 2000000, replace=T), ncol=2)

# compute expected value
mean(apply(rolls, 1, max))
[1] 4.471531

— Nishanth
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Não há necessidade de usar simulação para isso, o caso geral é bastante fácil de analisar. Deixe que seja o número de dados e ser o máximo rolo feito ao rolar as dados. $n$ $X$ $n$

Daqui resulta que em geral

P (X \leq 1) = {(\frac{1}{6})}^{n}

$P(X \leq 1) = \left(\frac{1}{6}\right)^n$

para

entre 1 e 6. Portanto, podemos obter

P (X \leq k) = {(\frac{k}{6})}^{n}

$P(X \leq k) = \left(\frac{k}{6}\right)^n$

k

$k$

P (X = k) = P (x \leq k) - P (x \leq k - 1) = {(\frac{k}{6})}^{n} - {(\frac{k - 1}{6})}^{n} .

$P(X = k) = P(x \leq k) - P(x \leq k-1)=\left(\frac{k}{6}\right)^n-\left(\frac{k-1}{6}\right)^n.$

Assim, podemos escrever a distribuição de probabilidade de forma fechada. Fazendo isso para você obtém o valor esperado 4,472222. $n = 2$

— Erik
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P (X = 6) = 1^{n} - (\frac{5}{6})^{n} \to 1

$P(X = 6) = 1^n - (\frac{5}{6})^n \rightarrow 1$

n \to \infty

$n \rightarrow \infty$

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Sugiro apenas trabalhar com o caso trivial para ver a resposta.

[\begin{matrix} (1, 1) & (1, 2) & . . . \\ (2, 1) & (2, 2) & . . . \\ (3, 1) & (3, 2) & . . . \\ . . . \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} (1,1) & (1,2) & ... \\ (2,1) & (2,2) & ... \\ (3,1) & (3,2) & ... \\ ... \end{bmatrix}$

O valor esperado da soma é 7. Esse é o caso, porque os rolos são desenhos independentes idênticos, portanto podem ser somados. A expectativa de rolar um dado cúbico justo é de 3,5.

[\begin{matrix} 1 & 2 & . . . \\ 2 & 2 & . . . \\ 3 & 3 & . . . \\ . . . \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & ... \\ 2 & 2 & ... \\ 3 & 3 & ... \\ ... \end{bmatrix}$

E [x] = Σ (x P (x)) = 1 / 36 (1) + 1 / 36 (2) + . . . + 1 / 36 (6) \approx 4.47

$E[x] = \Sigma(xP(x)) = 1/36(1) + 1/36(2) + ... + 1/36(6) \approx 4.47$

$n$ $n$ $n$

— d0rmLife
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Supondo que cada uma das 36 combinações tenha uma probabilidade igual, basta adicionar os valores de cada uma das 36 combinações e dividir por 36 para obter a média:

1 possibilidade: 11
3 possibilidades: 12, 21, 22
5 possibilidades: 13, 23, 31, 32, 33
7 possibilidades: 14, 24, 34, 41, 42, 43, 44
9 possibilidades: 15, 25, 35, 45, 51, 52, 53, 54, 55
11 possibilidades: 16, 26, 36, 46, 56, 61, 62, 63, 64, 65, 66

(1 * 1 + 2 * 3 + 3 * 5 + 4 * 7 + 5 * 9 + 6 * 11) / 36 = 4,47222 ..

— Briguy37
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Troll Dice Roller é a ferramenta para encontrar probabilidades de dados. Ele tem um artigo explicando a implementação, mas é bastante acadêmico.

max(2d6) rendimentos

1 - 2.8%
2 - 8.3%
3 - 13.9%
4 - 19.4%
5 - 25%
6 - 30.6%
Average value =    4.47222222222
Spread =       1.40408355068
Mean deviation =       1.1975308642

— QuestionC
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