Prove / refute

Prove / refute $E[1_A | \mathscr{F_t}] = 0 \ \text{or} \ 1 \ \text{a.s.} \ \Rightarrow E[1_A | \mathscr{F_{s}}] = E[1_A | \mathscr{F_t}] \ \text{a.s.}$

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Dado um espaço de probabilidade filtrado $(\Omega, \mathscr{F}, \{\mathscr{F}_n\}_{n \in \mathbb{N}}, \mathbb{P})$ , deixar $A \in \mathscr{F}$ .

Suponha

$$\exists t \in \mathbb{N} \ \text{s.t.} \ E[1_A | \mathscr{F_t}] = 1 \ \text{a.s.}$$ Segue-se que $$E[1_A | \mathscr{F_{s}}] = E[1_A | \mathscr{F_t}] \ \text{a.s.} \ \forall s > t \ ?$$ E sobre $\forall s < t$ ?

E se em vez

$$\exists t \in \mathbb{N} \ \text{s.t.} \ E[1_A | \mathscr{F_t}] = 0 \ \text{a.s.} \ ?$$ Ou se $$E[1_A | \mathscr{F_t}] = p \ \text{a.s.} \ \text{for some} \ p \in (0,1) \ ?$$

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O que eu tentei:

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Se , então E [ 1 A ] = 1 , que é o mesmo que 1 A = 1 (quase certamente). Nesse caso, E [ 1 A | F s ] = 1 (quase certamente) para cada s .$\Bbb E[1_A|\mathscr F_t]=1$$\Bbb E[1_A]=1$$1_A=1$$\Bbb E[1_A|\mathscr F_s]=1$$s$

Da mesma forma, se , então E [ 1 A ] = 0 , que é o mesmo que 1 A = 0 (quase certamente). Nesse caso, E [ 1 A | F s ] = 0 (quase certamente) para cada s .$\Bbb E[1_A|\mathscr F_t]=0$$\Bbb E[1_A]=0$$1_A=0$$\Bbb E[1_A|\mathscr F_s]=0$$s$

Se , para uma constante p ∈ ( 0 , 1 ) , então temos$\Bbb E[1_A|\mathscr F_t]=p$$p\in(0,1)$

. Isso pode falhar se s > t .$\Bbb E[1_A|\mathscr F_s]=E[E[1_A|\mathscr F_t]|\mathscr F_s] = E[p|\mathscr F_s] = p$$s>t$

Como alternativa para case:$= p$

Seja uma variável aleatória mensurável delimitada F t .$F$$\mathscr F_t$

$$\Bbb E[1_A\cdot F]=\Bbb E[E[1_A\cdot F|\mathscr F_t]]=\Bbb E[F\cdot E[1_A|\mathscr F_t]]$$

$$=\Bbb E[p\cdot F]=p\Bbb E[F]=\Bbb E[1_A]\cdot\Bbb E[F]$$

significando que e F são independentes. Em outras palavras, σ ( A ) e F t são independentes. Portanto, σ ( A ) e F s também são independentes se s < te, portanto, E [ 1 A | F s ] = E [ 1 A ] = p . Isso pode falhar se s > t .$1_A$$F$$\sigma(A)$$\mathscr F_t$$\sigma(A)$$\mathscr F_s$$s<t$$E[1_A|\mathscr F_s] = E[1_A] = p$$s>t$

Eu acho que a idéia é que uma constante é tanto independente de e F s -mensurável$\mathscr F_s$$\mathscr F_s$ .

Seu argumento parece ser válido, mas você começa assumindo que . No entanto, a pergunta afirma que E [ 1 A | F t ] ∈ { 0 , 1 } , o que eu consideraria como a variável aleatória E [ 1 A | F t ] aceita valores no conjunto { 0 , 1 }, isto é, E [ 1 A | $E[1_A | \mathscr{F_t}] = 1$$E[1_A | \mathscr{F_t}] \in \{0, 1\}$$E[1_A | \mathscr{F_t}]$$\{0, 1\}$ ondeB∈ F t . A propriedade definidora dessa expectativa condicional é que ∫ F 1 B d P = ∫ F 1 A d P para todos osF∈ F t . Em particular, tomarF=Bleva aP(B)=P(A∩B), a partir do qual podemos concluir queB⊂$E[1_A | \mathscr{F_t}]=1_B$$B\in\mathscr{F_t}$$\int_F 1_B d\mathbb{P}=\int_F 1_A d\mathbb{P}$$F\in\mathscr{F_t}$$F=B$$P(B)=P(A\cap B)$$B\subset A$(exceto possivelmente em um conjunto de probabilidade zero). No entanto, também sabemos (como no argumento que você escreveu) que ou seja, P ( A ) = P ( B ) , então a única conclusão possível é que A = B (exceto possivelmente para um conjunto de probabilidade zero).$E[E[1_A | \mathscr{F_t}]] = E[1_B]$$P(A)=P(B)$$A=B$

Para $s\gt t$ , , então a lei da torre para expectativas condicionais implica que E [ 1 A | F t ] = E [ E [ 1 A | F t ] | M s ] . Mas E [ 1 A | F t ] = 1 A , então E [ 1 A | F s ] $\mathscr{F_t}\subset\mathscr{F_s}$$E[1_A | \mathscr{F_t}]=E[E[1_A | \mathscr{F_t}] | \mathscr{F_s}]$$E[1_A | \mathscr{F_t}]=1_A$ . Portanto, todas as expectativas condicionais para s > t são iguais (a 1 A ). Para s < t , se A ∈ F s , ainda teremos E [ 1 A | M s ] = 1 Uma . Por outro lado, se voltarmos a um tempo em que A não está em F s , não creio que algo possa ser dito sobre E [ 1 A | M s$E[1_A | \mathscr{F_s}]=1_A$$s>t$$1_A$$s<t$$A\in\mathscr{F_s}$$E[1_A | \mathscr{F_s}]=1_A$$A$$\mathscr{F_s}$$E[1_A | \mathscr{F_s}]$em geral. Para um exemplo concreto, veja este artigo , Figura 1. Tomando , por exemplo, fornece a sequência de expectativas condicionais E [ 1 A | F 0 ] = $A=\{\omega_2\}\in\mathscr{F_2}\setminus\mathscr{F_1}$,E[1A| F1]=$E[1_A | \mathscr{F_0}]=\frac{1}{8} 1_\Omega$,E[1A| F2]=1{ω2},E[1A| F3]=1{ω2}.$E[1_A | \mathscr{F_1}]=\frac{1}{2}1_{\{\omega_1,\omega_2\}}$$E[1_A | \mathscr{F_2}]=1_{\{\omega_2\}}$$E[1_A | \mathscr{F_3}]=1_{\{\omega_2\}}$