Por que uma matriz de projeção de uma projeção ortogonal é simétrica?

Eu sou completamente novo nisso, então espero que você me perdoe se a pergunta for ingênua. (Contexto: estou aprendendo econometria com o livro "Econometria e Métodos" de Davidson & MacKinnon , e eles parecem não explicar isso; também observei o livro de otimização de Luenberger que lida com projeções em um nível um pouco mais avançado, mas sem sorte).

Suponhamos que tem uma projecção ortogonal $\mathbb P$ com é associada matriz de projecção $\bf P$ . Estou interessado em projetar cada vetor em $\mathbb{R}^n$ em algum subespaço $A \subset \mathbb{R}^n$ .

Pergunta : por que segue que T , isto é, P é simétrico? Que livro didático eu poderia procurar para esse resultado?$\bf{P}=P$$^T$$\bf P$

Este é um resultado fundamental da álgebra linear em projeções ortogonais. Uma abordagem relativamente simples é a seguinte. Se s vectores ortonormais abrangendo um m -dimensional subespaço A , e L é o n × p matriz com o u i 's como as colunas, então P = L L T . Isto decorre diretamente do fato de que a projeção ortogonal de x sobre A pode ser calculada em termos da base ortonormal de A como $u_1, \ldots, u_m$$m$$A$$\mathbf{U}$$n \times p$$u_i$

$$\mathbf{P} = \mathbf{U}\mathbf{U}^T.$$ $x$$A$$A$ Segue-se directamente a partir da fórmula acima queP2=Pe quePt=P $$\sum_{i=1}^m u_i u_i^T x.$$ $\mathbf{P}^2 = \mathbf{P}$$\mathbf{P}^T = \mathbf{P}.$

Também é possível dar um argumento diferente. Se é uma matriz de projeção para uma projeção ortogonal, então, por definição, para todos os x , y ∈ R n P x ⊥ y - P y . Conseqüentemente, 0 = ( P x ) T ( y - P y ) = x T P T ( I - P ) y = x T ( P T - $\mathbf{P}$$x,y \in \mathbb{R}^n$

$$\mathbf{P}x \perp y-\mathbf{P}y.$$
para todos os x , y ∈ R n . Isto mostra que P T = P t P , onde P = ( P T ) T = ( P T P ) T = P t P = P t $$0 = (\mathbf{P} x)^T (y - \mathbf{P}y) = x^T \mathbf{P}^T (I - \mathbf{P}) y = x^T (\mathbf{P}^T - \mathbf{P}^T \mathbf{P}) y$$ $x, y \in \mathbb{R}^n$$\mathbf{P}^T = \mathbf{P}^T \mathbf{P}$ $$\mathbf{P} = (\mathbf{P}^T)^T = (\mathbf{P}^T \mathbf{P})^T = \mathbf{P}^T \mathbf{P} = \mathbf{P}^T.$$

Uma tentativa de intuição geométrica ... Lembre-se de que:

1. Uma matriz simétrica é auto-adjunta.
2. Um produto escalar é determinado apenas pelos componentes no espaço linear mútuo (e independente dos componentes ortogonais de qualquer um dos vetores).

$x$$A$ de um segundo vetor $y$: $\langle x,Ay \rangle$. A seguir (2), o produto dependerá apenas dos componentes de$x$ no período da projeção de $y$. Portanto, o produto deve ser o mesmo que$\langle Ax,Ay \rangle$, e também $\langle Ax,y\rangle$ seguindo o mesmo argumento.

Desde a $A$ é auto-adjunta - é simétrica.