limite de

Estou pensando em mostrar que o limite: onde é a função de distribuição da cauda, , onde é a função de distribuição cumulativa

lim_{x \to \infty} x \bar{F} (x) = 0

$\lim_{x \to \infty} x\overline{F}(x) =0$

\bar{F} = 1 - F

$\overline{F} =1-F$

\bar{F} (x) = 1 - F (x)

$\overline{F}(x)=1−F(x)$

F

$F$

Como $x \to \infty$ , $\overline{F} \to 0$ , então temos uma forma indeterminada, reescrevo como:

lim_{x \to \infty} \frac{\bar{F} (x)}{1 / x}

$\lim_{x \to \infty} \frac{\overline{F}(x)}{1/x}$ e use a regra de L'Hôpital :

lim_{x \to \infty} \frac{f (x)}{1 / x^{2}}

$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{1/x^2}$ mas isso requer conhecimento de

f

$f$ como

x \to \infty

$x \to \infty$ que eu não ter.

Como eu avalio esse limite?

probability cdf

— dimebucker91
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Você deve esclarecer suas suposições: o resultado reivindicado não é verdadeiro em geral (por exemplo, para Pareto), mas é válido quando

X

$X$ é positivo

E [X] < \infty

$\mathbb{E}[X] < \infty$ . Dica: use

x Pr {X > x} \leq E [X 1_{{X > x}}]

$x \text{Pr}\{ X > x \} \leq \mathbb{E}[X 1_{ \{X > x\} }]$ .

— Yves

@ Nitpicking militar um pouco, mas a condição é realmente um pouco mais fraca, exigindo integrabilidade. Por exemplo, pode-se mostrar

x^{p} Pr {| X | > x} \to 0

$x^p \Pr\{|X| > x\} \to 0$ implica

E [| X |^{q}] < \infty

$E[|X|^q] < \infty$ para todos

q

$q$ estritamente menores que

p

$p$ . Mas isso não é verdade para

q = p

$q = p$ em geral. De cabeça para baixo, acho que a densidade proporcional a

1 / [x^{p + 1} \log x]

$1 / [x^{p+1} \log x]$ para

x > 2

$x > 2$ dá o contra-exemplo, mas confesso que não fiz as contas.

— cara

Isso é comprovado em um artigo com um nome bobo, a regra de darth vader na página 2. Este artigo não trata exatamente da sua pergunta, mas eles respondem à sua pergunta.

— RayVelcoro

Respostas:

Supondo que a expectativa exista e por conveniência que a variável aleatória tem uma densidade (equivalente a ser absolutamente contínua em relação à medida de Lebesgue), mostraremos que

lim_{x \to \infty} x [1 - F (x)] = 0

$\lim_{x\to\infty} x \left [1-F(x)\right]=0$

A existência da expectativa implica que a distribuição não é muito atulhada, diferentemente da distribuição de Cauchy, por exemplo.

Como a expectativa existe, temos que

E (X) = lim_{u \to \infty} \int_{- \infty}^{u} x f (x) d x = \int_{- \infty}^{\infty} x f (x) d x < \infty

$E(X)=\lim_{u\to \infty} \int_{-\infty}^u xf(x) \mathrm{dx} = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \mathrm{dx} < \infty$

e isso é sempre bem definido. Agora observe que para , $u \geq 0$

\int_{u}^{\infty} x f (x) d x \geq u \int_{u}^{\infty} f (x) d x = u [1 - F (u)]

$\int_{u}^{\infty} x f(x) \mathrm{dx} \geq u \int_{u}^{\infty} f(x) \mathrm{dx} = u \left[1-F(u) \right]$

e a partir destes dois segue-se que

lim_{u \to \infty} [E (X) - \int_{- \infty}^{u} x f (x) d x] = lim_{u \to \infty} \int_{u}^{\infty} x f (x) d x = 0

$\lim_{u \to \infty} \left[ E(X) - \int_{-\infty}^u xf(x) \mathrm{dx} \right] = \lim_{u\to \infty} \int_{u}^{\infty} x f(x) \mathrm{dx}=0$

como no limite, o termo aproxima da expectativa. Por nossa desigualdade e a não-negatividade do integrando, temos o nosso resultado. $\int_{-\infty}^u xf(x) \mathrm{dx}$

Espero que isto ajude.

— JohnK
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Obrigado (+1). Re-relaxando a suposição: quando, por exemplo, é uma distribuição de Cauchy, o valor limite de é , não zero. Para distribuições Student com parâmetro menor que ( indica Cauchy), esse limite é infinito.

F

$F$

x (1 - F (x))

$x(1-F(x))$

1 / π

$1/\pi$

t

$t$

1

$1$

1

$1$

— whuber

Para qualquer variável aleatória não negativa , temos (ver (21.9) a probabilidade e a medida de Billingsley ): Para , substituir por leva de a $Y$

\begin{matrix} (*) & E [Y] = \int Y d P = \int_{0}^{\infty} P [Y > t] d t . \end{matrix}

$E[Y] = \int Y dP = \int_0^\infty P[Y > t] dt. \tag{*}$

M > 0

$M > 0$

Y

$Y$

X I_{[X > M]}

$XI_{[X > M]}$

(*)

$(*)$

\begin{matrix} (**) & \int X I_{[X > M]} d P = M P [X > M] + \int_{M}^{\infty} P [X > t] d t \geq M P [X > M] . \end{matrix}

$\int XI_{[X > M]} dP= MP[X > M] + \int_M^\infty P[X > t] dt \geq MP[X > M]. \tag{**}$

Suponha que é integrável (ou seja, ), o lado esquerdo de converge para como , pelo teorema da convergência dominada. Segue-se que Portanto, o resultado segue. $X$ $E[|X|]< \infty$ $(**)$ $0$ $M \to \infty$

0 \geq \underset{M \to \infty}{lim sup} M P [X > M] \geq \underset{M \to \infty}{lim inf} M P [X > M] \geq 0.

$0 \geq \limsup_{M \to \infty} MP[X > M] \geq \liminf_{M \to \infty} MP[X > M] \geq 0.$

Observação: Essa prova usa alguma teoria da medida, que eu acho que vale a pena, pois a prova que assume que a existência de densidades não trata de uma classe majoritária de variáveis aleatórias, por exemplo, variáveis aleatórias discretas como binomial e Poisson.

— Zhanxiong
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A prova realmente não exige que seja integrável, mas apenas que seja tal para alguns finitos , portanto, pode ter uma cauda esquerda pesada. A identidade do livro de Billingsley não é realmente necessária, pois tende a para com probabilidade 1.

X

$X$

X 1_{{X > x_{0}}}

$X 1_{ \{X > x_0\}}$

x_{0}

$x_0$

X

$X$

X 1_{{X > x}}

$X 1_{ \{X > x\}}$

0

$0$

x \to \infty

$x \to \infty$

— Yves

@ Yves @ guy Sim, bom ponto. Integrabilidade é apenas uma condição suficiente, mas nunca necessária. No entanto, pode ser a condição mais sucinta e normal imposta para derivar a relação solicitada pelo OP.

— Zhanxiong

ESTÁ BEM. Alternativa sucinta: .

E (X_{+}) < \infty

$\mathbb{E}(X_+) < \infty$

— Yves

@Yves Of course :) #

— 585 Zhanxiong