Qual é a relação entre evento e variável aleatória?

Foi-me dito que um evento é apenas uma variável aleatória que foi atribuída e que variáveis aleatórias são uma generalização de eventos. No entanto, não posso relacionar isso à definição de um evento como um subconjunto do espaço de amostra . Além disso, um evento pode acontecer ou não, enquanto uma variável aleatória pode ter vários resultados.

Eventos como variáveis aleatórias binárias? Se sim, então cada resultado de uma variável aleatória é realmente um evento?

Eu também preciso saber como os dois conceitos se relacionam em termos de independência condicional.

— Estocástico
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Respostas:

Seja o experimento dado por onde é o espaço amostral, é o conjunto de todos os eventos (subconjuntos de quais atribuímos uma probabilidade) e é a medida de probabilidade. Os pontos de são denotados e são os "eventos elementares" (ou "resultados"). Variáveis aleatórias neste experimento são funções e são escritas como , significando que seu valor é determinado pelo resultado elementar . $\DeclareMathOperator{\P}{\mathbb{P}} \DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} (\mathbb{X},\mathbb{B}, \P)$ $\mathbb{X}$ $\mathbb{B}$ $\mathbb{X}$ $\P$ $\mathbb{X}$ $\omega$ $f \colon \mathbb{X}\mapsto \mathbb{R}$ $f(\omega)$ $\omega$

Correspondendo ao evento é a variável aleatória indicador Nesse sentido, os eventos podem ser incorporados como um subconjunto do conjunto de todas as variáveis aleatórias definidas para esta configuração experimental. Em seguida, a probabilidade de ocorrendo pode ser escrito como uma expectativa $A$

I_{A} (ω) = {\begin{cases} 1 if A occurs, that is, ω \in A . \\ 0 if A do not occur, that is ω \notin A . \end{cases}

$I_A(\omega) = \begin{cases} 1 ~\text{if $A$ occurs, that is, $\omega\in A$.} \\ 0 ~\text{if $A$ do not occur, that is $\omega \not\in A$.} \end{cases}$

A

$A$

P (A) = E I_{A} .

$\P(A) = \E I_A.$

Para a pergunta adicional nos comentários: Se e são independentes (como eventos), e são independentes (como variáveis aleatórias). "podemos dizer que I_A = 1 e I_B = 1 são independentes?" Bem, é simplesmente o evento , então acho que você pode responder agora! $A$ $B$ $I_A$ $I_B$ $I_A=1$ $A$

— kjetil b halvorsen
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Obrigado, mas ainda não entendo. O que significa o ômega? E isso me leva à pergunta: se dois eventos A e B são independentes, dizemos I_A e I_B são independentes? Mais importante, podemos dizer que I_A = 1 e I_B = 1 são independentes?

— Estocástico

Boa resposta, mas eu não usaria o termo "evento primário", já que eles não podem pertencer a

. O termo usual é "resultados".

B

$\mathbb B$

— Neil G

É apenas independência de eventos.

é um evento e assim por diante.

I_{A} = i

$I_A=i$

— b Kjetil Halvorsen

+1 Bom! Verifique sua frase "os eventos podem ser incorporados como um subconjunto, como o conjunto de todas as variáveis aleatórias definidas para esta configuração experimental". Além disso, algumas expressões de látex não apareceram no final.

— Antoni Parellada

A

$A$

I_{A}

$I_A$

I_{A} (ω) = 1

$I_A(\omega)=1$

ω \in A

$\omega \in A$

A

$A$

ω \in A

$\omega \in A$

I_{A} = 1

$I_A=1$

$\{0,1\}$ $\{False, True\}$

Você levantou a questão:

um evento pode acontecer ou não, enquanto uma variável aleatória pode ter vários resultados.

Eu acho que os textos de probabilidade geralmente não fazem o suficiente para descrever por que os axiomas da probabilidade são do jeito que são, então eu vou dar uma guinada:

$X$ $f: X \to [0,1]$ $X$ $f(x) = 1/6$

Em breve você achará isso um pouco restritivo, porque você quer falar sobre subconjuntos de mundos possíveis, ou seja, e se a rolagem for maior que 3. Então você ajusta sua teoria e, em vez disso, atribui probabilidades a conjuntos $\mu: \mathcal{P}(X) \to [0,1]$ $\mathcal{P}$ $\mu$ $f$

$X$ $\Omega$

$X$ $\Omega \to \mathbb{N}$ $\Omega$

— zenna
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Para fins de entendimento, nos limitaremos a espaços de amostra finitos.

Primeiramente, em resposta à sua pergunta, não, o resultado de uma variável aleatória não é um evento. Uma variável aleatória toma como entrada um elemento do espaço de amostra e gera um número real.

Por exemplo, suponha que tiremos uma bola de uma urna com 3 bolas rotuladas como A, B e C. O espaço de amostra de todas as bolas na urna é S = {A, B, C}. Existem 8 eventos possíveis: {}, {A}, {B}, {C}, {A, B}, {A, C}, {B, C}, {A, B, C}. O evento {B, C} significa que a bola desenhada é B ou C.

Uma variável aleatória é uma função com valor real no espaço da amostra. Se a variável aleatória X atribuir 10 a A, 10 a B e 30 a C, se A for desenhado, o valor realizado de X é 10, um número real, não um evento.

Se x é um número, o evento correspondente a X = x é o conjunto de elementos do espaço de amostra que são mapeados por X a x. No exemplo atual, o evento correspondente a X = 10 é {A, B}, pois A e B são mapeados para 10 e C não.

A relação acima entre variáveis aleatórias e eventos se estende a outros conceitos. Por exemplo, as variáveis aleatórias X e Y são independentes se, para cada par de números reais x e y, os eventos X = x e Y = y forem independentes. Da mesma forma, X e Y são condicionalmente independentes, dado Z, se os eventos X = x e Y = y forem condicionalmente independentes, dado o evento Z = z.

(Estou assumindo aqui que a questão é sobre a relação entre eventos e variáveis aleatórias e não sobre as definições de probabilidade, independência e independência condicional que assumimos.)

— G. Grothendieck
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