Se

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Isso não é lição de casa.

Seja uma variável aleatória. Se e , segue-se que ? $X$ $\mathbb{E}[X] = k \in \mathbb{R}$ $\text{Var}[X] = 0$ $\Pr\left(X = k\right) = 1$

Intuitivamente, isso parece óbvio, mas não tenho certeza de como provaria isso. Eu sei de fato que, pelas suposições, segue-se que . Então Isso não parece me levar a lugar algum. Eu poderia tentar Agora desde , segue-se que também. $\mathbb{E}[X^2] = k^2$

{(\int_{R} x d F (x))}^{2} = \int_{R} x^{2} d F (x) .

$\left(\int_{\mathbb{R}}x\text{ d}F(x)\right)^2 = \int_{\mathbb{R}}x^2\text{ d}F(x)\text{.}$

Var [X] = E [{(X - k)}^{2}] .

$\text{Var}[X] = \mathbb{E}\left[\left(X - k\right)^2\right]\text{.}$

{(X - k)}^{2} \geq 0

$\left(X - k\right)^2 \geq 0$

E [{(X - k)}^{2}] \geq 0

$\mathbb{E}\left[\left(X - k\right)^2\right] \geq 0$

Mas se eu usasse igualdade, então meu instinto é que , de modo que .

E [{(X - k)}^{2}] = 0

$\mathbb{E}\left[\left(X - k\right)^2\right] = 0$

{(X - k)}^{2} \equiv 0

$\left(X - k\right)^2 \equiv 0$

X \equiv k

$X \equiv k$

Como eu saberia disso? Suponho uma prova por contradição.

Se, ao contrário, para todos , então , e para todo . Temos uma contradição, então . $X \neq k$ $X$ $(X-k)^2 > 0$ $\mathbb{E}[(X-k)^2] > 0$ $X$ $X \equiv k$

A prova é sólida - e, se sim, existe talvez uma maneira melhor de provar essa afirmação?

probability

— Clarinetist
fonte

@ user777 Eu tentei esse método originalmente (como você pode ver no meu Equação ), mas não sabia ao certo como proceder.

\int_{R} x d F (x) = \int_{R} x^{2} d F (x)

$\int_{\mathbb{R}}x\text{ d}F(x) = \int_{\mathbb{R}}x^2\text{ d}F(x)$

— Clarinetist

3

Creio que a desigualdade de Chebyshev responde a essa pergunta imediatamente.

— whuber

@ whuber: pelo menos a declaração da Wikipedia sobre a desigualdade de Chebyshev exige explicitamente uma variação diferente de zero . Eu realmente não ver se precisamos de algum tipo de prova fundamental para o caso variância de zero ...

— Stephan Kolassa

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@Stephan Você pode facilmente misturar qualquer distribuição não-regenerada com intervalo e aplicar a desigualdade para mostrar que para todos e todos .

(- δ, δ)

$(-\delta,\delta)$

Pr (| X - k | > δ) \leq ε

$\Pr(|X - k| \gt \delta) \le \varepsilon$

ε > 0

$\varepsilon \gt 0$

δ > 0

$\delta \gt 0$

— whuber

6

Aqui está uma prova teórica da medida para complementar as outras, usando apenas definições. Trabalhamos em um espaço de probabilidade . Observe que e considere a integral . Suponha que, para algum , exista tal que em e . Então aproxima de baixo, então, pela definição padrão de como o supremo de integrais de funções simples aproximando de baixo, $(\Omega, \mathcal F, P)$ $Y:=(X - \mathbb EX)^2 \geq 0$ $\mathbb EY :=\int Y(\omega) P(d\omega)$ $\epsilon>0$ $A\in \mathcal F$ $Y>\epsilon$ $A$ $P(A)>0$ $\epsilon I_A$ $Y$ $\mathbb E Y$

E Y \geq \int ϵ I_{A} P (d ω) = ϵ P (A) > 0,

$\mathbb EY\geq \int\epsilon I_AP(d\omega) = \epsilon P(A)>0,$ que é uma contradição. Assim, , . Feito.

\forall ϵ > 0

$\forall \epsilon>0$

P ({ω : Y > ϵ}) = 0

$P\left(\{\omega : Y>\epsilon \}\right) = 0$

— ekvall
fonte

5

Prove isso por contradição. Pela definição da variação e suas suposições, você tem

0 = Var X = \int_{R} (x - k)^{2} f (x) d x,

$0 =\text{Var}X = \int_\mathbb{R} (x-k)^2\,f(x)\,dx,$

onde é a densidade de probabilidade de . Note-se que ambos e são não negativos. $f$ $X$ $(x-k)^2$ $f(x)$

Agora, se , então $P(X=k)<1$

U := (R ∖ {k}) \cap f^{- 1} (] 0, \infty [)

$U:=\big(\mathbb{R}\setminus\{k\}\big)\cap f^{-1}\big(]0,\infty[\big)$

tem maior medida do que zero, e . Mas então $k\notin U$

\int_{U} (x - k)^{2} f (x) d x > 0,

$\int_U (x-k)^2\,f(x)\,dx > 0,$

(algum argumento no estilo pode ser incluído aqui) e, portanto, $\epsilon$

0 = Var X = \int_{R} (x - k)^{2} f (x) d x \geq \int_{U} (x - k)^{2} f (x) d x > 0,

$0 =\text{Var}X = \int_\mathbb{R} (x-k)^2\,f(x)\,dx \geq \int_U (x-k)^2\,f(x)\,dx > 0,$

e sua contradição.

— Stephan Kolassa
fonte

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O que é ? É o mesmo que como? $X \equiv k$ $X = k$

ETA: Iirc, $X \equiv k \iff X(\omega) = k \ \forall \ \omega \in \Omega \to X=k \ \text{a.s.}$

De qualquer forma, é óbvio que

(X - E [X])^{2} \geq 0

$(X-E[X])^2 \ge 0$

Suponha

E [X - E [X])^{2}] = 0

$E[X-E[X])^2] = 0$

Então

(X - E [X])^{2} = 0 a.s.

$(X-E[X])^2 = 0 \ \text{a.s.}$

O último passo que eu acredito envolve continuidade de probabilidade ... ou o que você fez (você está certo).

Há também a desigualdade de Chebyshev :

$\forall \epsilon > 0$ ,

P (| X - k | \geq ϵ) \leq \frac{0}{ϵ^{2}} = 0

$P(|X-k| \ge \epsilon) \le \frac{0}{\epsilon^2} = 0$

P (| X - k | \geq ϵ) = 0

$P(|X-k| \ge \epsilon) = 0$

\to P (| X - k | < ϵ) = 1

$\to P(|X-k| < \epsilon) = 1$

Bom falar de novo .

Btw porque é que

\int_{R} x d F (x) = \int_{R} x^{2} d F (x)

$\int_{\mathbb{R}}x\text{ d}F(x) = \int_{\mathbb{R}}x^2\text{ d}F(x)$

?

Parece-me que enquanto $LHS = k$ $RHS = k^2$

— BCLC
fonte

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Sim, você está certo. Eu editei o post

— Clarinetist

@Clarinetist Editou também o meu: P

— BCLC 04/12/2015