Por que não consigo calcular 1,5 desvios padrão usando matemática básica?

Não entendo por que não posso simplesmente adicionar 1,5 desvios padrão para obter a resposta.

Se 1 desvio padrão é 10 kg e a média é 400 kg, 415 kg são 1,5 desvios padrão.

Então eu calculei assim: .3413 + ((.4772-.3413)/2) = 0.40925

Essa equação obtém metade da diferença entre dois desvios padrão e um desvio padrão e a adiciona ao primeiro desvio padrão.

Por que isso não funciona? Por que tenho que usar a tabela fornecida?

A razão pela qual não podemos (linearmente) interpolar entre 0,3413 e 0,4772 é porque o pdf da distribuição Normal não é uniforme (simples em um único valor).

Considere este exemplo mais simples, onde podemos usar a geometria para encontrar as áreas.

A área total da plotagem é 1(é um corte quadrado na diagonal, com as duas peças reorganizadas para serem um triângulo). Usando Base*Height/2, podemos descobrir que a área da região A é 0.5e a área total das regiões B e C também 0.5.

Mas as áreas de B e C não são iguais. A área da região C é 0.5*0.5/2 = 0.125e, portanto, a área da região B é 0.375. Portanto, mesmo que as regiões B e C sejam igualmente largas ao longo do eixo x, como a altura não é constante, elas têm áreas diferentes.

A distribuição Normal com a qual você está lidando no exercício é semelhante, mas com uma função mais complicada para a altura, em vez de um triângulo simples. Por esse motivo, a área entre dois valores não pode ser resolvida de maneira simples - daí o uso de escores Z e uma tabela para encontrar probabilidades.

Apenas para fornecer uma ilustração diferente sobre o mesmo tópico ...

$x$

$A_{1.5\,SD} =\large\frac{A_{2\,SD} - A_{1\,SD}}{2} = \small height * \large\frac{X_{2\,SD} - X_{1\,SD}}{2}$

$x$

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A fórmula para a distribuição gaussiana é:

Onde sigma = desvio padrão e mu = média

(roubado da wikipedia)

Ao solicitar a área, você está integrando esta função no intervalo especificado. Essa integral não possui uma solução "de forma fechada": não há como criar uma expressão usando funções matemáticas "normais", como fatorial, multiplicação, exponenciação, raízes etc. que são iguais a essa integral.

É como logaritmos ou funções trigonométricas: você não pode produzir uma equação de forma fechada para eles usando outras funções algébricas (você pode usar séries infinitas, mas isso não é "fechado"). Então você usa uma tabela (se estiver se sentindo retro ou uma calculadora, que simplesmente usa uma tabela nos bastidores incorporada em seu processador como ponto de partida) quando precisa calculá-la.

De fato, o paralelo com logaritmos é bastante adequado: também é possível definir um logaritmo por uma integral, ou seja, ln (x) = integral de (1 / x) de 0 a x.

Geometricamente,, .4772 - .3413representa a área no gráfico entre 1 desvio padrão e 2 desvios padrão. Se você dividir essa região na metade do caminho horizontalmente, a parte à esquerda da divisão será a área entre 1 e 1,5 desvios padrão, conforme desejado. Tudo bem até agora.

No entanto, quando você pega, (.4772 - .3413) / 2está obtendo metade da área , mas não necessariamente o que estava procurando, que é, no entanto, muita área na metade horizontalmente. Com esse gráfico, a parte esquerda da divisão não é metade da área - a linha está inclinada para baixo (indo do canto superior esquerdo para o canto inferior direito), para que haja mais espaço na parte esquerda do que na parte direita. Se este gráfico fosse uma linha horizontal reta, a área que você estava dividindo seria um retângulo e metade da área seria realmente do outro lado.