Definição matemática de assintóticos de preenchimento

Estou escrevendo um artigo que usa assintóticos de preenchimento e um dos meus revisores solicitou que eu forneça uma definição matemática rigorosa do que é assintóticos de preenchimento (ou seja, com símbolos e notações matemáticas).

Parece que não consigo encontrar nada na literatura e esperava que alguém pudesse me apontar na direção de alguns ou me fornecer uma definição auto-escrita.

Se você não estiver familiarizado com assintóticos de preenchimento (também chamados de assintóticos de domínio fixo), eles são os seguintes: Os assintóticos de preenchimento são baseados em observações que ficam cada vez mais densas em alguma região fixa e limitada à medida que seu número aumenta.

Em outras palavras, assintóticos de preenchimento é onde mais dados são coletados por amostragem mais densa em um domínio fixo.

Eu já olhei para Stein 1999 e Cressie 1993, mas nada "matematicamente" rigoroso lá.

Aqui está a passagem citada do meu artigo.

Portanto, é importante reconhecer o tipo de assintóticos com os quais estamos lidando. No nosso caso, os assintóticos com os quais lidamos são baseados em observações que se tornam cada vez mais densas em alguma região fixa e limitada à medida que seu número aumenta. Esses tipos de assintóticos são conhecidos como assintóticos de domínio fixo (Stein, 1999) ou assintóticos de preenchimento (Cressie, 1993). Os assintóticos de preenchimento, onde mais dados são coletados por amostragem mais densa em um domínio fixo, desempenharão um papel fundamental para nos ajudar a desenvolver um argumento para ...

É importante notar que estou amostrando minhas observações usando amostragem de hipercubo latino.

Aqui está o que o livro de Cressie tem a dizer sobre assintóticos de preenchimento.

asymptotics definition

A seção 5.8, Infill Asymptotics , da primeira edição (1991) do livro de Cressie é clara. Embora não forneça uma definição em notação matemática, um exemplo (de assintóticos "mais delicados que o preenchimento") é explicitamente dado duas páginas depois, usando notação matemática. Você poderia citar a descrição do seu artigo sobre "assintóticos de preenchimento"?

— whuber

@whuber Adicionei a citação à pergunta original #

Obrigado. Essa citação não parece ser suficientemente específica. Como, exatamente, você faz uma amostragem do domínio fixo? Um exemplo (oferecido por Cressie) é que você faz uma amostra de um ponto e, para sempre, faz uma amostra em um cluster em torno de um ponto diferente. Isso provavelmente teria um comportamento assintótico diferente do que a amostragem com um processo de Poisson homogêneo, por exemplo.

— whuber

@whuber Estou usando amostras de hipercubo latino.

Inclua essas informações na sua pergunta, porque é crucial para a resposta.

— whuber

Respostas:

A definição de assintóticos de preenchimento não é particularmente útil (tecnicamente, se o domínio permanecer fixo e o tamanho da amostra aumentar, isto é, assintóticos de preenchimento. Mas considere o caso em que você faz uma amostra de uma transação de 0 a 1, coletando uma amostra em 0,1 / 2, outra amostra em 1 / 2,3 / 4, outra no intervalo 3/4, 7/8 etc. Você poderá dizer muito sobre os valores em 1, mas não poderá dizer muito outro.)

$\epsilon$ $\epsilon>0$ $n\rightarrow\infty$

Às vezes, o preenchimento não é fornecido explicitamente, apenas um design é fornecido. Por exemplo, no artigo de Lahiri (Sobre a inconsistência de estimadores baseados em dados espaciais sob assintóticos de preenchimento), ele descreve um design que é essencialmente uma grade 'instável' (alguma aleatoriedade como o nível pequeno, mas geralmente baseada em amostragens em hiper retangular). sub-regiões) que é assintoticamente denso no domínio fixo. Ele obtém o resultado (comum para problemas de preenchimento) de que a maioria dos parâmetros do variograma é estimada inconsistentemente.

Lahiri, Lee e Cressie (Sobre distribuição assintótica e eficiência assintótica de estimadores mínimos quadrados de parâmetros de variograma espacial, J.StatPlanInf 2002, vol. 103, pp. 65-85) também consideram grades de preenchimento que se tornam sistematicamente mais espaçadas, novamente, produzindo uma amostra densa.

(O resultado geral para amostras densas é que, uma vez que os assintóticos de preenchimento são realmente uma única realização de um processo espacial, o único parâmetro do variograma verdadeiro (superpopulação) que pode ser constantemente estimado é a inclinação em zero, mas as previsões são cada vez melhores. )

— AlaskaRon
fonte

Você sabe como provar esta afirmação? "para todas as sub-regiões da área ϵ, para qualquer ϵ> 0, a probabilidade de uma amostra ocorrer na sub-região se aproxima de 1 como n → ∞. Essa amostra é densa no domínio."

ϵ

$\epsilon$

Você conhece algum artigo que diga que os hipercubos latinos são densamente assintoticamente?

Vamos começar com uma definição de amostragem Latin Hypercube, apenas para tornar as coisas perfeitamente claras e estabelecer uma notação. Então podemos definir assintóticos de preenchimento.

LHS

$\mathcal{B}=[l_1,u_1)\times [l_2,u_2)\times \cdots [l_d,u_d) \subset \mathbb{R}^d$ $N \ge 1$ $\delta_i(N) = (u_i-l_i)/N$ $N^d$

c_{N} (i_{1}, i_{2}, \dots, i_{d}) = [l_{1} + i_{1} δ_{1} (N), l_{1} + (i_{1} + 1) δ_{1} (N)) \times \dots [l_{d} + i_{d} δ_{d} (N), l_{d} + (i_{d} + 1) δ_{d} (N)),

$c_N(i_1,i_2,\ldots, i_d) = [l_1 + i_1\delta_1(N), l_1 + (i_1+1)\delta_1(N))\times \cdots [l_d + i_d\delta_d(N), l_d + (i_d+1)\delta_d(N)),$

$0 \le i_j \lt N$ $j$

$N$ $S=\{c_N(i_1^1, \ldots, i_d^1), \ldots, c_N(i_1^N, \ldots, i_d^N)\}$

{i_{j}^{1}, i_{j}^{2}, \dots, i_{j}^{N}} = {1, 2, \dots, N}, j = 1, 2, \dots, d .

$\{i_j^1, i_j^2, \ldots, i_j^N\}=\{1, 2, \ldots, N\},\ j=1, 2, \ldots, d.$

$d$ $2$ $N$ $S$ $N$

X (N) = {(Z_{1}^{N}, Y_{1}^{N}), \dots, (Z_{N}^{N}, Y_{N}^{N})}

$X(N)=\{(Z_1^N,Y_1^N), \ldots, (Z_N^N,Y_N^N)\}$ dos valores (localização, observação).

Assintotics de preenchimento

$t_N$ $X(N)$ $N$ $\mathcal{B}$ $t_N(X(N))$ $N$

t_{1} (X (1)), t_{2} (X (2)), \dots, t_{N} (X (N)), \dots

$t_1(X(1)), t_2(X(2)), \ldots, t_N(X(N)), \ldots$

$N$

— whuber
fonte