Valor esperado das variáveis ​​aleatórias iid

Me deparei com este derivação que eu não entendo: se são amostras aleatórias de tamanho n retiradas de uma população de μ média e variância σ 2 ,$X_1, X_2, ..., X_n$$\mu$$\sigma^2$

$\bar{X} = (X_1 + X_2 + ... + X_n)/n$

$E(\bar{X}) = E(X_1 + X_2 + ... + X_n)/n = (1/n)(E(X_1) + E(X_2) + ... + E(X_n))$

$E(\bar{X}) = (1/n)(\mu + \mu + ...n ~\text{times}) = \mu$

É aqui que estou perdido. O argumento usado é porque eles são distribuídos de forma idêntica. Na realidade, isso não é verdade. Suponha que eu tenha uma amostra, S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } e, em seguida, se selecionar aleatoriamente 2 números com substituição e repetir esse procedimento 10 vezes, obterá 10 amostras: (5, 4) (2 , 5) (1, 2) (4, 1) (4, 6) (2, 4) (6, 1) (2, 4) (3, 1) (5, 1). É assim que se parece com 2 variáveis ​​aleatórias X 1 , X 2 . Agora, se eu pegar o valor esperado de$E(X_i) = \mu$$S=\{1,2,3,4,5,6\}$$X_1, X_2$ eu recebo,$X_1$

$E(X_1) = 1.(1/10) + 2.(3/10) + 3.(1/10) + 4.(2/10) + 5.(2/10) + 6.(1/10) = 34/10 = 3.4$

Mas o valor esperado da população é de 3,5. O que realmente está errado no meu raciocínio?

Antes de mais nada, não são amostras. Essas são variáveis ​​aleatórias, como apontado por Tim. Suponha que você esteja fazendo um experimento no qual estima a quantidade de água em um item alimentar; por isso, digamos 100 medidas de conteúdo de água para 100 itens alimentares diferentes. Cada vez que você obtém um valor do teor de água. Aqui, o conteúdo de água é variável aleatória e agora suponha que existam no total 1000 itens alimentares que existem no mundo. 100 itens alimentares diferentes serão chamados uma amostra desses 1000 itens alimentares. Observe que o conteúdo de água é a variável aleatória e 100 valores do conteúdo de água obtidos formam uma amostra. $X_1, X_2,...,X_n$

$E(X)=\mu$$\bar{X}$$X_i$$X_i$$\mu$$\frac{n\mu}{n} =\mu$

A terceira equação da sua pergunta é a condição para que um estimador seja um estimador imparcial do parâmetro populacional. A condição para um estimador não ser imparcial é

$\bar{\theta}$

$\{1,2,3,4,5,6\}$$10$$\{5,2,1,4,4,2,6,2,3,5\}$. A questão é como você estimaria a média da população, dada essa amostra. De acordo com a fórmula acima, a média da amostra é um estimador imparcial da média da população. O estimador imparcial não precisa ser igual à média real, mas é o mais próximo da média que você pode obter.