Distribuição da diferença entre duas distribuições normais

Eu tenho duas funções de densidade de probabilidade de distribuições normais:

$$f_1(x_1 \; | \; \mu_1, \sigma_1) = \frac{1}{\sigma_1\sqrt{2\pi} } \; e^{ -\frac{(x-\mu_1)^2}{2\sigma_1^2} }$$

e

$$f_2(x_2 \; | \; \mu_2, \sigma_2) = \frac{1}{\sigma_2\sqrt{2\pi} } \; e^{ -\frac{(x-\mu_2)^2}{2\sigma_2^2} }$$

Estou procurando a função de densidade de probabilidade da separação entre e . Acho que isso significa que estou procurando a função de densidade de probabilidade de. Isso está correto? Como eu acho isso?x 2 | x 1 - x 2 $x_1$$x_2$$|x_1 - x_2|$

Esta pergunta pode ser respondida como declarado apenas assumindo que as duas variáveis ​​aleatórias e governadas por essas distribuições são independentes. X $X_1$$X_2$ Isso faz a diferença Normal com média e variação . (A solução a seguir pode ser facilmente generalizada para qualquer distribuição normal bivariada de .) Assim, a variável μ= μ 2 - μ 1 σ 2 = σ 2 1 + σ 2 2 ( X 1 , X 2$X = X_2-X_1$$\mu = \mu_2-\mu_1$$\sigma^2=\sigma_1^2 + \sigma_2^2$$(X_1, X_2)$

$$Z = \frac{X-\mu}{\sigma} = \frac{X_2 - X_1 - (\mu_2 - \mu_1)}{\sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}}$$

tem uma distribuição normal padrão (ou seja, com média zero e variação unitária) e

$$X = \sigma \left(Z + \frac{\mu}{\sigma}\right).$$

A expressão

$$|X_2 - X_1| = |X| = \sqrt{X^2} = \sigma\sqrt{\left(Z + \frac{\mu}{\sigma}\right)^2}$$

exibe a diferença absoluta como uma versão escalada da raiz quadrada de uma distribuição qui-quadrado não central com um grau de liberdade e parâmetro de não centralidade . Uma distribuição qui-quadrado não central com esses parâmetros possui um elemento de probabilidade$\lambda=(\mu/\sigma)^2$

$$f(y)dy = \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{2 \pi } } e^{\frac{1}{2} (-\lambda -y)} \cosh \left(\sqrt{\lambda y} \right) \frac{dy}{y},\ y \gt 0.$$

Escrever para estabelece uma correspondência um-para-um entre e sua raiz quadrada, resultando em x > 0 $y=x^2$$x \gt 0$$y$

$$f(y)dy = f(x^2) d(x^2) = \frac{\sqrt{x^2}}{\sqrt{2 \pi } } e^{\frac{1}{2} (-\lambda -x^2)} \cosh \left(\sqrt{\lambda x^2} \right) \frac{dx^2}{x^2}.$$

Simplificar isso e depois redimensionar fornece a densidade desejada,$\sigma$

$$f_{|X|}(x) = \frac{1}{\sigma}\sqrt{\frac{2}{\pi}} \cosh\left(\frac{x\mu}{\sigma^2}\right) \exp\left(-\frac{x^2 + \mu^2}{2 \sigma^2}\right).$$

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Este resultado é suportado por simulações, como este histograma de 100.000 desenhos independentes de(chamado "x" no código) com os parâmetros . Nele é plotado o gráfico de , que coincide com os valores do histograma.μ 1 = - 1 , μ 2 = 5 , σ 1 = 4 , σ 2 = 1 f | X $|X|=|X_2-X_1|$$\mu_1=-1, \mu_2=5, \sigma_1=4, \sigma_2=1$$f_{|X|}$

O Rcódigo para esta simulação segue.

#
# Specify parameters
#
mu <- c(-1, 5)
sigma <- c(4, 1)
#
# Simulate data
#
n.sim <- 1e5
set.seed(17)
x.sim <- matrix(rnorm(n.sim*2, mu, sigma), nrow=2)
x <- abs(x.sim[2, ] - x.sim[1, ])
#
# Display the results
#
hist(x, freq=FALSE)
f <- function(x, mu, sigma) {
 sqrt(2 / pi) / sigma * cosh(x * mu / sigma^2) * exp(-(x^2 + mu^2)/(2*sigma^2)) 
}
curve(f(x, abs(diff(mu)), sqrt(sum(sigma^2))), lwd=2, col="Red", add=TRUE)

Estou fornecendo uma resposta que é complementar à do @whuber no sentido de ser o que um não estatístico (ou seja, alguém que não sabe muito sobre distribuições não centrais do qui-quadrado com um grau de liberdade, etc.) possa escrever, e que um neófito poderia seguir com relativa facilidade.

Tomando emprestada a suposição de independência e a notação da resposta do whuber , que e . Assim, para , e, é claro, para . Segue-se a diferenciação em relação a que $Z = X_1-X_2 \sim N(\mu, \sigma^2)$$\mu = \mu_1-\mu_2$$\sigma^2 = \sigma_1^2+\sigma_2^2$$x \geq 0$

$$\begin{align} F_{|Z|}(x) &\triangleq P\{|Z| \leq x\}\\ &= P\{-x \leq Z \leq x\}\\ &= P\{-x < Z \leq x\} &\scriptstyle{\text{since}~Z~\text{is a continuous random variable}}\\ &= F_Z(x) - F_Z(-x), \end{align}$$ $F_{|Z|}(x) = 0$$x < 0$$x$ $$\begin{align}f_{|Z|}(x) &\triangleq \frac{\partial}{\partial x} F_{|Z|}(x)\\ &= [f_Z(x) + f_Z(-x)]\mathbf 1_{(0,\infty)}(x)\\ &= \left[ \frac{\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)}{\sigma\sqrt{2\pi}} + \frac{\exp\left(-\frac{(x+\mu)^2}{2\sigma^2}\right)}{\sigma\sqrt{2\pi}}\right]\mathbf 1_{(0,\infty)}(x)\\ &= \frac{\displaystyle\exp\left(-\frac{x^2+\mu^2}{2\sigma^2}\right)}{\sigma\sqrt{2\pi}}\left(\exp\left(\frac{x\mu}{\sigma^2}\right) + \exp\left(\frac{x\mu}{\sigma^2}\right)\right)\mathbf 1_{(0,\infty)}(x)\\ & = \frac{1}{\sigma}\sqrt{\frac{2}{\pi}} \cosh\left(\frac{x\mu}{\sigma^2}\right) \exp\left(-\frac{x^2 + \mu^2}{2 \sigma^2}\right)\mathbf 1_{(0,\infty)}(x) \end{align}$$ que é exatamente o mesmo resultado da resposta do whuber, mas chegou de maneira mais transparente.

A distribuição de uma diferença de duas variáveis ​​normalmente distribuídas X e Y também é uma distribuição normal, assumindo que X e Y sejam independentes (obrigado Mark pelo comentário). Aqui está uma derivação: http://mathworld.wolfram.com/NormalDifferenceDistribution.html

Aqui você está perguntando a diferença absoluta, com base na resposta do whuber e se assumirmos que a diferença na média de X e Y é zero, é apenas uma distribuição meio normal com duas vezes a densidade (obrigado Dilip pelo comentário).