Topologias para as quais o conjunto de distribuições de probabilidade está completo

Tenho lutado bastante para reconciliar meu entendimento intuitivo das distribuições de probabilidade com as propriedades estranhas que quase todas as topologias nas distribuições de probabilidade possuem.

Por exemplo, considere uma variável aleatória mista : escolha uma Gaussiana centrada em 0 com variação 1 e com probabilidade $X_n$ , adicioneao resultado. Uma sequência dessas variáveis aleatórias convergiria (fraca e na variação total) para um Gaussiano centrado em 0 com variação 1, mas a média doé sempree as variações convergem para. Eu realmente não gosto de dizer que essa sequência converge por causa disso. $\frac{1}{n}$ $n$ $X_n$ $1$ $+\infty$

Levei algum tempo para lembrar tudo o que havia esquecido das topologias, mas finalmente descobri o que era tão insatisfatório para mim nesses exemplos: o limite da sequência não é uma distribuição convencional. No exemplo acima, o limite é um estranho "gaussiano da média 1 e da variação infinita". Em termos topológicos, o conjunto de distribuições de probabilidade não está completo sob os fracos (e TV, e todas as outras topologias que eu observei).

Então, enfrento a seguinte pergunta:

existe uma topologia tal que o conjunto de distribuições de probabilidade esteja completo?
Se não, essa ausência reflete uma propriedade interessante do conjunto de distribuições de probabilidade? Ou é apenas chato?

Nota: Formulei minha pergunta sobre "distribuições de probabilidade". Eles não podem ser fechados porque podem convergir para Diracs e coisas do tipo que não possuem pdf. Mas as medidas ainda não estão fechadas sob a topologia fraca, então minha pergunta permanece

crossposted to mathoverflow /mathpro/226339/topologies-for-which-the-semble-of-probability-measures-is-complete?noredirect=1#comment558738_226339

— Guillaume Dehaene
fonte

Você descobriu que o conjunto de todas as distribuições de probabilidade é bastante compacto . Eu acho que compacidade é a palavra que você precisa, não integridade. O conceito relevante de compactação nessa configuração é freqüentemente chamado de estanqueidade . Veja, por exemplo, stats.stackexchange.com/questions/180139/…

— kjetil b halvorsen

@kjetilbhalvorsen Acho que é pré- compacto em vez de compacto devido ao Teorema de Skorohod.

— Henry.L

Qual é exatamente o problema com o exemplo dado? Será que (fraca, digamos) convergência não implica convergência de momentos? Por que deveria? E o que isso tem a ver com integridade (o limite existe no exemplo dado)?

— Michael

Olhando a questão de um ângulo estatístico mais restrito (a questão topológica matemática geral é válida), o fato de que a sequência de momentos pode não convergir para os momentos da distribuição limitante é um fenômeno bem conhecido. Isso, em princípio, não põe em dúvida automaticamente a existência de uma distribuição limitadora bem comportada da sequência.

$\{X_n + n Bern(1/n)\}$ $N(0,1)$

— Alecos Papadopoulos
fonte

Como isso responde à pergunta?

— whuber

@whuber Bem, minha resposta diz que se existe uma topologia que o OP solicite ou não, não faz muita diferença do ponto de vista estatístico.

— Alecos Papadopoulos