A transformação monótona invertível de um intervalo de confiança fornece um intervalo de confiança (no mesmo nível) no espaço transformado?

Suponha

(a, b)

$(a,b)$

é um intervalo de confiança de nível para um parâmetro . Suponha que é uma transformação invertível monótona. Então é $(1-\alpha)$ $\theta$ $\eta$

(η (a), η (b))

$\left (\eta(a), \eta(b) \right )$

um intervalo de confiança de nível para ? Suponha que o parâmetro e os pontos de extremidade do intervalo de confiança sejam todos números reais. $(1-\alpha)$ $\eta(\theta)$

A resposta parece intuitivamente ser "Sim" por razões semelhantes às por que você pode transformar variáveis aleatórias fazendo coisas como, se , então $Y = g(X)$

P (Y \leq y) = P (g (X) \leq y) = P (X \leq g^{- 1} (y))

$P( Y \leq y ) = P( g(X) \leq y ) = P(X \leq g^{-1}(y) )$

Também pode estar relacionado ao teorema do mapeamento contínuo, aplicado aos MLEs.

Isso não é tarefa de casa e está surgindo no contexto de saber se posso ou não obter 95% para as probabilidades de log, depois transformá-lo novamente e chamá-lo de 95% para a probabilidade.

obrigado

confidence-interval

— Atrevido
fonte

De acordo com a definição de intervalo de confiança, (com e vistas como as variáveis aleatórias). Então, como e relacionados?

Pr (θ \in (a, b)) = 1 - α

$\Pr(\theta\in (a,b))=1-\alpha$

a

$a$

b

$b$

Pr (θ \in (a, b))

$\Pr(\theta\in (a,b))$

Pr (η (θ) \in (η (a), η (b)))

$\Pr(\eta(\theta)\in (\eta(a),\eta(b)))$

— whuber

Acho que, no momento em que você escrever uma definição formal de "monótono", verá a solução.

— whuber

Aplique o que você acabou de escrever em e para concluir o conjunto de valores para os quais também é o conjunto de valores para os quais . Se você está computando a probabilidade exatamente do mesmo subconjunto de valores em cada caso ... certamente as probabilidades devem ser as mesmas. [Se você pode vê-lo no caso , o que há de diferente agora?]

b > X

$b>X$

X > a

$X>a$

a < X < b

$a<X<b$

η (a) < η (X) < η (b)

$\eta(a) < \eta(X) < \eta(b)$

X

$X$

η (X) = X^{2}

$\eta(X)=X^2$

— Glen_b -Reinstala Monica

O problema pode surgir devido à maneira como você interpreta o IC resultante. Se você pegar um IC para uma média e transformá-lo, ele ainda é um IC válido, mas não é um IC para a média na escala transformada, é um IC para uma média transformada (uma coisa bem diferente). .eg, se eu pegar logs, ajustar um modelo, encontrar um IC para a média na escala de log, eu posso transformar esse intervalo de volta com bastante satisfação, mas não é um IC para a média na escala não-original , mas um IC para os exponenciados mean-of-logs ..

— Glen_b -Reinstala Monica

Por favor, responda a sua pergunta. (Seria um desperdício para mim ou para a whuber obter reputação por responder a uma pergunta que você é capaz de responder.)

— Glen_b -Reinstala Monica

Sim, porque

P (a < X < b) = P (η (a) < η (X) < η (b))

$P(a < X < b) = P \Big( \eta(a) < \eta(X) < \eta(b) \Big)$

para uma variável aleatória e uma função monótona que aumenta estritamente, . Por um argumento semelhante, se é uma função estritamente decrescente, o intervalo transformado se torna . $X$ $\eta$ $\eta$ $(\eta(b),\eta(a))$

— Atrevido
fonte

Eu sei que o OP mencionou monótonos e invertíveis; portanto, para ser completo, basta dizer estritamente o aumento monótono, caso contrário, isso não será verdade.

— Alex R.