Como estão relacionadas a função de erro e a função de distribuição normal padrão?

Se o PDF normal padrão for

f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- x^{2} / 2}

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}$

e o CDF é

F (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{x} e^{- x^{2} / 2} d x,

$F(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-x^2/2}\mathrm{d}x\,,$

como isso se transforma em uma função de erro de ? $z$

normal-distribution cdf

— TH4454
fonte

johndcook.com/erf_and_normal_cdf.pdf

— Mark L. Stone

Eu vi isso, mas começa com o ERF já definido.

— TH4454

Bem, há uma definição de erf e uma definição do CDF normal. As relações, deriváveis por alguns cálculos de rotina, são mostradas sobre como converter entre eles e como converter entre seus inversos.

— Mark L. Stone

Desculpe, não vejo muitos detalhes. Por exemplo, o CDF é de -Inf a x. Então, como o ERF passa de 0 para x?

— TH4454

Você está familiarizado com a técnica de cálculo da mudança de variável? Caso contrário, aprenda como fazê-lo.

— Mark L. Stone

Como isso ocorre frequentemente em alguns sistemas (por exemplo, o Mathematica insiste em expressar o CDF Normal em termos de ), é bom ter um tópico como esse que documenta o relacionamento. $\text{Erf}$

Por definição, a Função de erro é

Erf (x) = \frac{2}{\sqrt{π}} \int_{0}^{x} e^{- t^{2}} d t .

$\text{Erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2} \mathrm{d}t.$

Escrevendo implica $t^2 = z^2/2$ (porquenão é negativo), de onde $t = z / \sqrt{2}$ $t$ . Os pontos finaisese torname $\mathrm{d}t = \mathrm{d}z/\sqrt{2}$ $t=0$ $t=x$ $z=0$ . Para converter a integral resultante em algo que se parece com uma função de distribuição cumulativa (CDF), ela deve ser expressa em termos de integrais que possuem limites inferiores de, assim: $z=x\sqrt{2}$ $-\infty$

Erf (x) = \frac{2}{\sqrt{2 π}} \int_{0}^{x \sqrt{2}} e^{- z^{2} / 2} d z = 2 (\frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{x \sqrt{2}} e^{- z^{2} / 2} d z - \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{0} e^{- z^{2} / 2} d z) .

$\text{Erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{2\pi}}\int_0^{x\sqrt{2}} e^{-z^2/2}\mathrm{d}z = 2\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x\sqrt{2}}e^{-z^2/2}\mathrm{d}z - \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^0 e^{-z^2/2}\mathrm{d}z\right).$

Essas integrais no tamanho do lado direito são os dois valores do CDF da distribuição normal padrão,

Φ (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{x} e^{- z^{2} / 2} d z .

$\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^x e^{-z^2/2} \mathrm{d}z.$

Especificamente,

Erf (x) = 2 (Φ (x \sqrt{2}) - Φ (0)) = 2 (Φ (x \sqrt{2}) - \frac{1}{2}) = 2 Φ (x \sqrt{2}) - 1.

$\text{Erf}(x) = 2(\Phi(x\sqrt{2}) - \Phi(0)) = 2\left(\Phi(x\sqrt{2}) - \frac{1}{2}\right) = 2\Phi(x\sqrt{2}) - 1.$

Isso mostra como expressar a função de erro em termos do CDF normal. A manipulação algébrica disso dá facilmente o CDF Normal em termos da Função de Erro:

Φ (x) = \frac{1 + Erf (x / \sqrt{2})}{2} .

$\Phi(x) = \frac{1 + \text{Erf}(x/\sqrt{2})}{2}.$

$\Phi$ $x$ $\sqrt{2}$ $1$ $y$ $y$ $2$

Φ (x \sqrt{2}) = \frac{Erf (x) + 1}{2}

$\Phi(x\sqrt{2}) = \frac{\text{Erf}(x) + 1}{2}$

em que a notação mostra explicitamente essas três operações de multiplicação, adição e divisão.

— whuber
fonte

Φ (x, μ, σ) = \frac{1}{2} (1 + Erf (\frac{x - μ}{σ \sqrt{2}}))

$\Phi(x,\mu,\sigma)=\frac{1}{2}\left( 1+\text{Erf} \left( \frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{2}} \right)\right)$