Conjectura relacionada à Lei Kolmogorov 0-1 (para eventos)

Seja um espaço de probabilidade. Conjetura: $(\Omega, \mathscr F, \mathbb P)$

Suponha que tenhamos os eventos st , ou . Existe uma sequência independente de eventos st $A_1, A_2, ...$ $\forall \ A \in \bigcap_n \sigma(A_n, A_{n+1}, ...)$ $P(A) = 0$ $1$ $B_1, B_2, ...$

$τ_{A_{n}} := ⋂_{n} σ (A_{n}, A_{n + 1}, . . .) = ⋂_{n} σ (B_{n}, B_{n + 1}, . . .) := τ_{B_{n}}$ $\tau_{A_n} := \bigcap_n \sigma(A_n, A_{n+1}, ...) = \bigcap_n \sigma(B_n, B_{n+1}, ...) := \tau_{B_n}$

Isso é verdade?

Eu acho que existe uma função st são independentes, então podemos escolher . Isso é verdade? Porque porque não? Caso contrário, de que outra forma posso provar ou refutar a conjectura acima? Se for verdade, acho que pode ser provado modificando a prova da Lei Kolmogorov 0-1 (para eventos). $f: \mathbb N \to \mathbb N$ $A_{f(n)}$ $B_n = A_{f(n)}$

Talvez uma dessas subsequências de conjuntos seja independente:

A_{n}

$A_n$

A_{2 n}, A_{2 n + 1}

$A_{2n}, A_{2n+1}$

A_{3 n}, A_{3 n + 1}, A_{3 n + 2}

$A_{3n}, A_{3n+1}, A_{3n+2}$

⋮

$\vdots$

A_{m n}, A_{m n + 1}, A_{m n + 2}, . . ., A_{m n + (m - 1)}

$A_{mn}, A_{mn+1}, A_{mn+2}, ..., A_{mn+(m-1)}$

⋮

$\vdots$

Acho que temos isso

τ_{A_{n}} = τ_{A_{m n + i}} := ⋂_{n} σ (A_{m n + i}, A_{m (n + 1) + i}, . . .)

$\tau_{A_n} = \tau_{A_{mn+i}} := \bigcap_n \sigma(A_{mn+i}, A_{m(n+1)+i}, ...)$

onde e . $m \in \mathbb N$ $i \in \{0, 1, 2, ..., m-1\}$

Parece que precisamos de qualquer , se existir, para satisfazer a seguinte condição: $f(n)$

\begin{matrix} (**) & σ (A_{f (n)}, A_{f (n + 1)} . . .) \subseteq σ (A_{n}, A_{n + 1}, . . .) \end{matrix}

$\sigma(A_{f(n)}, A_{f(n+1)}...) \subseteq \sigma(A_n, A_{n+1}, ...) \tag{**}$

o que eu acho que é verdade se (e somente se?) $f(n) \ge n$ .

Outros possíveis candidatos a : $f(n)$ (suponha que as variáveis sejam st estão satisfeitas. Se necessário, ou também.) $f: \mathbb N \to \mathbb N$ $(**)$ $f(n) \ge n$

$\sum_{i=0}^{m} a_i n^i$
$2^n, 3^n, ...$
$\sum_{i=1}^{m} b_i c_i^n$
$\lfloor{t^n}\rfloor, \lceil{t^n}\rceil$ ( acho que $t > e^{1/e}$ )
$\lfloor{\sum_{i=1}^{m} b_i c_i^n}\rfloor, \lceil{\sum_{i=1}^{m} b_i c_i^n}\rceil$
$\lfloor{\text{linear combination of trigonometric functions}}\rfloor, \lceil{\text{linear combination of trigonometric functions}}\rceil$
$\lfloor{\text{Some linear combination of the above}}\rfloor, \lceil{\text{Some linear combination of the above}}\rceil$

Supondo que a conjectura seja verdadeira , acho que não é necessário encontrar que funcione para todas as sequências possíveis de eventos porque esse pode nem existir. $f(n)$ $A_1, A_2, ...$ $f(n)$

Para refutar a conjectura : Acho que devemos mostrar que essa sequência sendo independente implica que tail nunca será igual a tail, pois tail será trivial por Kolmogorov 0-1 Law (para eventos). $B_n$ $B_n$ $A_n$ $B_n$ $\mathbb P-$

Algo que pode ajudar: podemos mostrar que ou e não são independentes, mas não tenho certeza de que a conjectura seja contestada porque poderia construir alguns 's que se parecem com: $\forall \ A \in \bigcap_n \sigma(A_{f(n)}, A_{f(n+1)}, ...), P(A) = 0$ $1$ $\forall n \in \mathbb N, A_{f(n)}, A_{f(n+1)}, ...$ $B_n$

$B_{n} = A_{n + 1} ∖ A_{n}$ $B_n = A_{n+1} \setminus A_n$
$B_{n} = A_{n} ∖ A_{n - 1}, A_{0} = \emptyset$ $B_n = A_{n} \setminus A_{n-1}, A_0 = \emptyset$
$B_{n} = ⋂_{m} A_{m n}$ $B_n = \bigcap_m A_{mn}$
$B_{n} = ⋃_{m} A_{m n}$ $B_n = \bigcup_m A_{mn}$
$B_{2 n} = ⋂_{m} A_{m n}, B_{2 n + 1} = ⋃_{m} A_{m n}$ $B_{2n} = \bigcap_m A_{mn}, B_{2n+1} = \bigcup_m A_{mn}$
$B_{n} = \underset{m}{lim sup} A_{m n}$ $B_n = \limsup_m A_{mn}$
$B_{n} = \underset{m}{lim inf} A_{m n}$ $B_n = \liminf_m A_{mn}$
$B_{2 n} = \underset{m}{lim sup} A_{m n}, B_{2 n + 1} = \underset{m}{lim inf} A_{m n}$ $B_{2n} = \limsup_m A_{mn}, B_{2n+1} = \liminf_m A_{mn}$

Sem dizer, é claro, que qualquer um desses satisfaz mas esse não precisa estar no formato . $B_n$ $\tau_{A_n} = \tau_{B_n}$ $B_n$ $A_{f(n)}$

Borel-Cantelli:

Se . Portanto, é independente. $\sum_n P(A_n) < \infty \to 0 = P(\limsup A_n) = P(\limsup A_{mn}) \ \forall m \in \mathbb N$ $B_m = \limsup A_{mn}$
Se , talvez essa extensão do Borel-Cantelli ? Não tenho muita certeza se entendi ou como seria útil. Acho que não podemos concluir nada se tivermos . $\sum_n P(A_n) = \infty$ $P(\limsup A_n)$
Depois, há o caso de mas as condições anteriores não são satisfeitas. $\sum_n P(A_n) = \infty$

— BCLC
fonte

Talvez uma prova por construção, onde ?

B_{1} = A_{1}, B_{2} = A_{2} - A_{1}, \dots

$B_1 = A_1, B_2 = A_2 - A_1, \dots$

— jbowman

Para mim, é improvável que essa conjectura seja verdadeira, a menos que você adicione condições extras ou queira dizer que as conclusões de dois álgebra concordam (o que ocorre quase trivialmente). No entanto, não consigo ver um exemplo contrário.

σ

$\sigma$

— P.Windridge

De qualquer forma, acho que você pode começar com a pergunta (mais simples): "Seja um espaço de probabilidade. Suponha que é um álgebra gerado de forma contável e ou para qualquer evento . Existe uma sequência de eventos independentes in com cauda -algebra ?

(Ω, F, P)

$(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$

G \subset F

$\mathcal{G}\subset\mathcal{F}$

σ

$\sigma$

P (A) = 0

$\mathbb{P}(A)= 0$

1

$1$

A \in G

$A \in \mathcal{G}$

B_{1}, B_{2}, \dots

$B_1,B_2,\ldots$

F

$\mathcal{F}$

σ

$\sigma$

G

$\mathcal{G}$

— P.Windridge

Um álgebra é gerado de forma contável se existir st . É simples encontrar exemplos em que a cauda álgebra não é gerada de forma contável.

σ

$\sigma$

G

$\mathcal{G}$

F_{1}, F_{2}, \dots

$F_1,F_2,\ldots$

G = σ (F_{1}, F_{2}, \dots)

$\mathcal{G} = \sigma(F_1,F_2,\ldots)$

σ

$\sigma$

— P.Windridge

De maneira mais geral, um sub- álgebra de um álgebra gerado de forma contável pode não ser ele próprio contado! Na verdade, veja o Exercício 1.1.18 em math.mit.edu/~dws/175/prob01.pdf

σ

$\sigma$

σ

$\sigma$

— P.Windridge

Se você deseja que os eventos sejam independentes de uma maneira interessante (não simplesmente porque ou ), a conjectura é falsa. $B_n$ $\mathbb{P}(B_n) = 0$ $\mathbb{P}(B_n) = 1$

Aqui está um exemplo pedante. Suponha que seja um espaço de probabilidade adequadamente rico. $(\Omega, \mathcal{F},\mathbb{P})$

Deixe ser -null, isto é . Tome , de modo que a cauda álgebra seja . $A \in \mathcal{F}$ $\mathbb{P}$ $\mathbb{P}(A) =0$ $A_i = A$ $\sigma$ $\mathcal{G} = \{\emptyset, A, A^c, \Omega\}$

Note que em particular é finito. $\mathcal{G}$

Agora, suponha que seja uma sequência independente de eventos com limitado a e . Então a cauda -algebra não é gerada de forma contável. (Veja, por exemplo, o Exercício 1.1.18 http://math.mit.edu/~dws/175/prob01.pdf , que usa um argumento como eu descrevi acima - qualquer -trivial -algebra gerado um átomo de massa , mas não possui esse átomo). $B_1, B_2, \ldots$ $\mathbb{P}(B_n)$ $0$ $1$ $\sigma$ $\mathcal{H}$ $\mathbb{P}$ $\sigma$ $1$ $\mathcal{H}$

Portanto, é finito, mas nem é gerado de forma contável. $\mathcal{G}$ $\mathcal{H}$

Edição 2: se você aceitar $\mathbb{P}(B_n) = 0$ , poderá replicar qualquer -trivial -algebra gerado de forma contável . Mais detalhadamente, suponha que seja gerado pelos eventos . Se for trivial, os serão todos independentes, em virtude de serem nulos (ou ser nulo). Agora faça uma construção triangular para os eventos : , , . $\mathbb{P}$ $\sigma$ $\mathcal{G}$ $E_1, E_2, \ldots \in \mathcal{G}\subset\mathcal{F}$ $\mathcal{G}$ $\mathbb{P}$ $E_n$ $E_n^c$ $B$ $B_{1,1} = E_1$ $B_{2,1} = E_1, B_{2,2} = E_2,\ldots,B_{k,j} = E_j$ $1\le j \le k$

Então é uma sequência contável (com ordenação natural para os índices) de eventos independentes cuja cauda álgebra é . $(B_{k,j})$ $\sigma$ $\mathcal{G}$

Então, aqui eu acho que é a pergunta-chave: suponha que seja uma cauda trivial gerável de maneira contável álgebra (proveniente de eventos não nulos que possam ser dependentes). Pode ser realizado como a cauda -álgebra para alguns eventos nulos? $\mathcal{G}$ $\mathbb{P}$ $\sigma$ $\mathcal{G}$ $\sigma$

Edit 1: Uma área cinza é o que acontece se você aceitar , embora esse não pareça ser o objetivo da pergunta original. $\mathbb{P}(B_n)\to 0$

— P.Windridge
fonte

Obrigado P.Windridge, mas não tenho certeza se entendi. 1 Se incluirmos ou , a conjectura é (trivialmente?) Verdadeira? 2 O que você está tentando provar no Edit 2? Se sim, seu igual a meu ? Eu editei OP para abreviação

P (B_{n}) = 0

$P(B_n)=0$

1

$1$

G

$\mathcal G$

τ_{A_{n}}

$\tau_{A_n}$

— BCLC

Eu li o exercício. ?

H = τ_{B_{n}}

$\mathcal H = \tau_{B_n}$

— BCLC 30/12/2015

Oi BCLC, (1) Estou dizendo que, se incluirmos , a conjectura é verdadeira para todas as opções dos eventos que possuem uma cauda "agradável" -algebra (onde "bom" aqui significa gerado de forma contável). (2) Sim e é o seu . Nota: o exercício vinculado usa " " para o que deveria ser seu , e " " denota uma sequência candidata de eventos geradores (usada para obter uma contradição.

P (B_{n}) = 0

$P(B_n)=0$

A_{1}, A_{2}, \dots

$A_1,A_2,\ldots$

σ

$\sigma$

G = τ_{(A_{n})}

$\mathcal{G}=\tau_{(A_n)}$

H

$\mathcal{H}$

τ_{(B_{n})}

$\tau_{(B_n)}$

A_{n}

$A_n$

B_{n}

$B_n$

B_{n}

$B_n$

— P.Windridge

Não tenho certeza se sigo. Apenas pelos pressupostos, os são independentes?

A_{i}

$A_i$

— BCLC 01/01

No Exercício 1.1.18 de math.mit.edu/~dws/175/prob01.pdf , os são eventos independentes, que você deve considerar os em sua conjectura. Era isso que você estava perguntando?

A_{i}

$A_i$

B_{i}

$B_i$

— precisa saber é o seguinte