Para intuição, quais são alguns exemplos da vida real de variáveis ​​aleatórias não correlacionadas, mas dependentes?

Ao explicar por que não correlacionado não implica independente, existem vários exemplos que envolvem um monte de variáveis ​​aleatórias, mas todas parecem muito abstratas: 1 2 3 4 .

Essa resposta parece fazer sentido. Minha interpretação: Uma variável aleatória e seu quadrado podem não estar correlacionados (já que aparentemente a falta de correlação é algo como independência linear), mas elas são claramente dependentes.

Acho que um exemplo seria que (padronizado?) Altura e altura 2 podem não estar correlacionadas, mas dependentes, mas não vejo por que alguém iria querer comparar altura e altura 2 .$^2$$^2$

Com o objetivo de dar intuição a um iniciante na teoria elementar das probabilidades ou propósitos semelhantes, quais são alguns exemplos da vida real de variáveis ​​aleatórias não correlacionadas, mas dependentes?

Em finanças, os efeitos GARCH (heterocedasticidade condicional autoregressiva generalizada) são amplamente citados aqui: retornos de ações , com P t o preço no momento t , eles próprios não estão correlacionados com seu próprio passado r t - 1 , se os mercados de ações são eficientes (mais, você poderia facilmente e rentável prever onde os preços estão indo), mas seus quadrados r 2 t e r $r_t:=(P_t-P_{t-1})/P_{t-1}$$P_t$$t$$r_{t-1}$$r_t^2$ não são: existe dependência de tempo nas variações, que se agrupam no tempo, com períodos de alta variação em tempos voláteis.$r_{t-1}^2$

Aqui está um exemplo artificial (mais uma vez, eu sei, mas as séries "reais" de retorno de ações podem parecer semelhantes):

Você vê o cluster de alta volatilidade em torno de, em particular, .$t\approx400$

Gerado usando

library(TSA)
garch01.sim <- garch.sim(alpha=c(.01,.55),beta=0.4,n=500)
plot(garch01.sim, type='l', ylab=expression(r[t]),xlab='t')

Um exemplo simples é uma distribuição bivariada que é uniforme em uma área em forma de anel. As variáveis ​​não são correlacionadas, mas claramente dependentes - por exemplo, se você souber que uma variável está próxima de sua média, a outra deve estar distante de sua média.

Eu achei a figura a seguir do wiki é muito útil para intuição. Em particular, a linha inferior mostra exemplos de distribuições não correlacionadas, mas dependentes.

Legenda do gráfico acima no wiki: Vários conjuntos de pontos (x, y), com o coeficiente de correlação de Pearson de xey para cada conjunto. Observe que a correlação reflete o barulho e a direção de um relacionamento linear (linha superior), mas não a inclinação desse relacionamento (meio), nem muitos aspectos dos relacionamentos não lineares (abaixo). NB: a figura no centro tem uma inclinação de 0, mas nesse caso o coeficiente de correlação é indefinido porque a variação de Y é zero.