Qual é o momento de uma variável aleatória conjunta?


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Pergunta simples, mas surpreendentemente difícil encontrar uma resposta online.

Eu sei que para um RV , definimos o k-ésimo momento como onde a igualdade se segue se , para uma densidade e Medida de Lebesgue .X

Xk dP=xkf(x) dx
p=fmmfm

Então, qual é o quinto momento de, digamos, ? realmente não parece a resposta para mim ....( X , Y ) d P(X,Y)(X,Y) dP


Colega de classe / postagem cruzada? math.stackexchange.com/users/301233/indiana
BCLC

Respostas:


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Não existe um "o" em relação aos momentos, pois existem muitos deles, mas os momentos das variáveis ​​bivariadas são indexados por dois índices, não um.

Então, em vez de momento, você tem momentos, (às vezes escrito quando isso não é ambíguo). Podemos falar de , o momento ou , o momento ou , e assim por diante.μ k ( j , k ) μ j , k μ j k μ 1 , 1 ( 1 , 1 ) μ 1 , 2 ( 1 , 2 ) μ 2 , 2kμk(j,k)μj,kμjkμ1,1(1,1)μ1,2(1,2)μ2,2

Às vezes, esses são chamados momentos mistos.

Então, generalizando seu exemplo contínuo unidimensional,

μj,k=xjykf(x,y)dxdy

Isso generaliza para dimensões mais altas.


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Como @ Glen_b ♦ mencionou, momento generalizado para cruzada momento (relacionar conceitos: função geradora de momento comum , função característica comum e cumulante ) em dimensões superiores.

Dito isto, para mim, essa definição não parece equivalente ao momento univariado, porque o momento cruzado é avaliado como um número real, mas, por exemplo, para um vetor normal multivariado, a média é um vetor e a variância é uma matriz . I especular que se pode definir de dimensão superior "momentos" usando derivados da função característica comum , aqui as derivadas são generalizadas usando tensores de classificação (então a derivada de segunda ordem seria uma matriz Hessiana).kφX(t)=E[eitX]k

Existem muitos outros tópicos relacionados interessantes, como: Medidas de assimetria multivariada e curtose com aplicações .

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