Como amostrar da distribuição discreta nos números inteiros não negativos?

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Eu tenho a seguinte distribuição discreta, onde são constantes conhecidas: $\alpha,\beta$

p (x; α, β) = \frac{Beta (α + 1, β + x)}{Beta (α, β)} for x = 0, 1, 2, \dots

$p(x;\alpha,\beta) = \frac{\text{Beta}(\alpha+1, \beta+x)}{\text{Beta}(\alpha,\beta)} \;\;\;\;\text{for } x = 0,1,2,\dots$

Quais são algumas das abordagens para obter amostras eficientes dessa distribuição?

— jII
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Esta é uma distribuição binomial beta negativa , com o parâmetro no seu caso, usando a notação da Wikipedia. Também denominou distribuição Beta-Pascal quando é um número inteiro. Como você observou em um comentário, esta é uma distribuição preditiva no modelo binomial negativo bayesiano com um Beta conjugado anterior à probabilidade de sucesso. $r=1$ $r$

Assim, você pode amostrá-lo amostrando uma variável e, em seguida, amostrando uma variável binomial negativa (com no seu caso, ou seja, para dizer uma distribuição geométrica). $\text{Beta}(\alpha,\beta)$ $u$ $\text{NB}(r,u)$ $r=1$

Esta distribuição é implementada no pacote de R brr. O amostrador tem nome rbeta_nbinom, pmf tem nome dbeta_nbinom, etc. As notações são , , . Verifica: $a=r$ $c=\alpha$ $d=\beta$

> Alpha <- 2; Beta <- 3
> a <- 1
> all.equal(brr::dbeta_nbinom(0:10, a, Alpha, Beta), beta(Alpha+a, Beta+0:10)/beta(Alpha,Beta))
[1] TRUE

Observando o código, podemos ver que ele realmente chama a ghyperfamília de distribuições (hipergeométricas generalizadas) do SuppDistspacote:

brr::rbeta_nbinom
function(n, a, c, d){
  rghyper(n, -d, -a, c-1)
}

De fato, a distribuição do BNB é conhecida como distribuição hipergeométrica generalizada do tipo IV . Veja a ajuda de ghyperno SuppDistspacote. Acredito que isso também pode ser encontrado no livro da Johnson & Al, Univariate Discrete Distributions .

— Stéphane Laurent
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Essa resposta é ótima, mas seria ainda melhor se você provar que o OP de densidade postado é o mesmo que a densidade binomial negativa.

— Sycorax diz Restabelecer Monica

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@ user777 Acho que o autor do OP provou a si próprio, tendo em vista seu comentário à resposta de Xian (distribuição preditiva posterior no modelo binomial negativo com um beta anterior conjugado).

— Stéphane Laurent

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Dado que está diminuindo com , sugiro gerar uma variável uniforme e calculando as somas acumuladas até A realização é então igual ao correspondente . Desde a

\frac{Beta (α + 1, β + x)}{Beta (α, β)} = \frac{α}{α + β + x} \frac{β + x - 1}{α + β + x - 1} \dots \frac{β}{α + β}

$\frac{\text{Beta}(\alpha+1, \beta+x)}{\text{Beta}(\alpha,\beta)}=\dfrac{\alpha}{\alpha+\beta+x}\dfrac{\beta+x-1}{\alpha+\beta+x-1}\cdots\dfrac{\beta}{\alpha+\beta}$

x

$x$

u \sim U (0, 1)

$u\sim\mathcal{U}(0,1)$

S_{k} = \sum_{x = 0}^{k} \frac{Beta (α + 1, β + x)}{Beta (α, β)}

$S_k=\sum_{x=0}^k \frac{\text{Beta}(\alpha+1, \beta+x)}{\text{Beta}(\alpha,\beta)}$

S_{k} > u

$S_k>u$

k

$k$

\begin{aligned} R_{x} & = \frac{Beta (α + 1, β + x)}{Beta (α, β)} \\ = \frac{α}{α + β + x} \frac{β + x - 1}{α + β + x - 1} \dots \frac{β}{α + β} \\ = \frac{α + β + x - 1}{α + β + x} \frac{β + x - 1}{α + β + x - 1} R_{x - 1} \\ = \frac{β + x - 1}{α + β + x} R_{x - 1} \end{aligned}

$\eqalign{R_x&=\frac{\text{Beta}(\alpha+1, \beta+x)}{\text{Beta}(\alpha,\beta)}\\&=\dfrac{\alpha}{\alpha+\beta+x}\dfrac{\beta+x-1}{\alpha+\beta+x-1}\cdots\dfrac{\beta}{\alpha+\beta}\\&=\frac{\alpha+\beta+x-1}{\alpha+\beta+x}\frac{\beta+x-1}{\alpha+\beta+x-1}R_{x-1}\\&=\frac{\beta+x-1}{\alpha+\beta+x}R_{x-1}}$ e o cálculo pode evitar o uso completo das funções Gamma.

S_{k} = S_{k} - 1 + R_{k}

$S_k=S_k-1+R_k$

— Xi'an
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(+1) Usar agilizará bastante o trabalho.

S_{k} = 1 - \frac{Γ (a + b) Γ (b + k + 1)}{Γ (b) Γ (a + b + k + 1)}

$S_k = 1-\frac{\Gamma (a+b) \Gamma (b+k+1)}{\Gamma (b) \Gamma (a+b+k+1)}$

— whuber

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Re edição: Eu suspeito que explorar as funções Gamma, no entanto, será útil para resolver em termos de , e . Por exemplo, pode-se encontrar uma aproximação inicial de usando a fórmula de Stirling na avaliação de e e depois polindo-a com alguns Newton-Raphson passos. Aqueles precisam avaliar o log Gamma e seus derivados. É claro que se e são integrais, então a solução é a raiz de um polinômio - mas mesmo assim, usar Gamma ainda pode ser o caminho a percorrer.

k

$k$

u

$u$

α

$\alpha$

β

$\beta$

u

$u$

Γ (b + k + 1)

$\Gamma(b+k+1)$

Γ (a + b + k + 1)

$\Gamma(a+b+k+1)$

α

$\alpha$

β

$\beta$

— whuber

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Ótima resposta! Aceitei a resposta dada pelo SL porque trouxe à minha atenção um ponto-chave (não faz parte da pergunta original), que a amostragem a partir do preditivo posterior é equivalente a amostrar o parâmetro a partir do posterior e, em seguida, a amostragem dos dados pela probabilidade. Em particular, a função de distribuição acima é a preditiva posterior de um dado geométrico com Beta anterior ao parâmetro .

p

$p$

— jII 30/12/2015