Problema de cor da lâmpada

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Primeiro, dê uma olhada no pequeno problema a seguir:

Existem duas lâmpadas indistinguíveis A e B. A pisca a luz vermelha com o prob .8 e azul com o prob .2; B vermelho com 0,2 e azul 0,8. Agora, com 0,5 prob, você recebe A ou B. Você deve observar a cor do flash para fazer uma melhor estimativa (maximizando a probabilidade de correta) qual é a lâmpada. Antes de começar a fazer observações, no entanto, você deve decidir quantas vezes deseja observá-lo (diga n vezes, depois observe-o piscando n vezes e faça seu palpite). Suponha que os flashes sejam independentes.

Intuitivamente, alguém poderia pensar que quanto mais observações fizer, melhores serão as chances. Curiosamente, porém, é fácil calcular que n = 2 não melhora em n = 1 en = 4 não melhora em n = 3. Não fui mais longe, mas especulo que n = 2k não melhora em n = 2k-1. Não posso provar isso no caso geral. Mas é verdade? Se sim, como entender intuitivamente o resultado?

bayesian binomial

— Eric
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Você está correto: não melhora em nesse caso simétrico. $n=2k$ $n=2k-1$

Claramente, a estratégia ideal é observar o número de flashes vermelho e azul e escolher A ou B de acordo com a cor que aparece mais. Se o mesmo número aparecer de cada um, não faz diferença o que você pensa, pois sua chance de estar correta é de nessa situação. $0.5$

Se houver a maioria de uma cor após flashes, a maioria deverá ser par e pelo menos 2, para que a cor também tenha a maioria de pelo menos 1 após flashes. Se houver igualdade após flashes, a escolha da cor com maioria após flashes será tão boa quanto qualquer outra regra de decisão nessa situação. Portanto, com um número par de flashes, o flash final não ajuda a melhorar sua alteração de adivinhação corretamente. $2k$ $2k-1$ $2k$ $2k-1$

— Henry
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@ Henry: "Se houver a maioria de uma cor após 2k flashes, a maioria deve ser par e pelo menos 2" Eu posso ter entendido mal o seu ponto, mas por que deve ser o mesmo? Por exemplo, se k = 10 e vermelho são observados 11 vezes e azuis 9 vezes, de onde vem a uniformidade?

— Eric

@ Eric: que é um número par. Se então que é par.

11 - 9 = 2

$11-9=2$

a + b = 2 k

$a+b=2k$

a - b = 2 (k - b)

$a-b=2(k-b)$

— Henry

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Para responder de maneira rigorosa, esse problema se resume à observação do número de flashes vermelhos que é binomial (A) ou binomial (B), com probabilidade de para cada um. A probabilidade de selecionar a lâmpada A é, portanto, dada pelo teorema de Bayes então este é Portanto, A (resp. B) é escolhido quando (resp. ). Assim, quando $X$ $\mathcal{B}(n,.8)$ $\mathcal{B}(n,.8)$ $0.5$

P (b = A | X = x) = \frac{P (X = x | b = A)}{P (X = x | b = A) + P (X = x | b = B)}

$\mathbb{P}(b=A|X=x) = \dfrac{\mathbb{P}(X=x|b=A)}{\mathbb{P}(X=x|b=A)+\mathbb{P}(X=x|b=B)}$

P (b = A | X = x) = \frac{(\binom{n}{x}) {0.8}^{x} {0.2}^{n - x}}{(\binom{n}{x}) {0.8}^{x} {0.2}^{n - x} + (\binom{n}{x}) {0.2}^{x} {0.8}^{n - x}} = \frac{1}{1 + 4^{n - 2 x}}

$\mathbb{P}(b=A|X=x) = \dfrac{{n \choose x} 0.8^x 0.2^{n-x}}{{n \choose x} 0.8^x 0.2^{n-x}+{n \choose x} 0.2^x 0.8^{n-x}}=\dfrac{1}{1+4^{n-2x}}$

n - 2 x < 0

$n-2x<0$

n - 2 x > 0

$n-2x>0$

n = 2 k - 1

$n=2k-1$ , a probabilidade de escolher corretamente A é

P (X > (2 k - 1) / 2 | b = A) = P (X \geq k | b = A) = \sum_{x = k}^{2 k - 1} (\binom{2 k - 1}{x}) {0.8}^{x} {0.2}^{2 k - 1 - x} .

$\mathbb{P}(X>(2k-1)/2|b=A) = \mathbb{P}(X\ge k|b=A) =\sum_{x=k}^{2k-1} {2k-1 \choose x} 0.8^x 0.2^{2k-1-x}\,.$

— Xi'an
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: Isso é útil. É a mesma fórmula que aqui stats.stackexchange.com/questions/18975/… , apenas em pequenas notações diferentes. Mas para completar esta prova rigorosa, você ainda tem que mostrar e vínculo mesma probabilidade correta.

n = 2 k

$n=2k$

n = 2 k - 1

$n=2k-1$

— Eric

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Isso é feito na resposta à sua outra pergunta, <a href=" stats.stackexchange.com/questions/18975/… para uma equação binomial</a>

— Xian

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Observe também que essa outra pergunta sua fornece apenas a última fórmula, enquanto minha resposta explica por que atingimos essa fórmula.

— Xi'an