Exemplo de cálculo da expectativa de um RV discreto usando a integral de Riemann-Stieltjes?

A notação integral de Riemann-Stieltjes é usada em expressões de expectativa em alguns textos de probabilidade. Basicamente, dF (x) aparece na integral em vez de f (x) dx na integral, uma vez que o CDF F (x) pode não ser diferenciável para uma distribuição discreta.

A motivação que ouvi para isso é geralmente fornecer uma definição unificada de expectativa, em vez de tratá-la com um caso discreto e um caso contínuo. Também deve facilitar a reflexão sobre misturas discretas e contínuas. Mas nunca vi um exemplo de calcular uma expectativa com uma integral de Riemann-Stieltjes para uma distribuição discreta (ou para uma distribuição que é uma mistura de uma massa pontual e uma distribuição contínua).

Alguém pode fornecer um exemplo de ambos ou de ambos? Obrigado!

Como você não parece ter feito muito com a integral, vou discutir isso de uma maneira muito elementar (e levemente ondulada) que deve transmitir algo do que acontece. No entanto, você pode começar com um lembrete, observando a definição de uma integral de Stieltjes, consulte, por exemplo, Mathworld ou Wikipedia . Fazer as integrais corretamente envolve considerar o limite na definição e, nas ocasiões em que não é óbvio de outra forma, é realmente isso que você precisa fazer.

$dF$$p(x)$

Apenas como exemplo, considere um Bernoulli (0,4).

$E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}\,x\,dF = \sum_x x\,p(x)$

$dF$$0$$x=0$$dF$$0.6$$x=1$$0.4$$0\cdot 0.6 + 1 \cdot 0.4$

Embora a unificação de fórmulas discretas e contínuas seja pura, não é exatamente onde a maior parte de seu valor vem à minha mente. Vejo mais valor no fato de que isso se aplica a casos em que você não possui variáveis ​​aleatórias discretas nem contínuas - e há muitos casos em que você encontra algo com dados reais, portanto, não é uma questão teórica esotérica. Tendo uma notação que pode lidar sem problemas com os casos "nem discretos nem contínuos", bem como com os casos especiais discretos e contínuos, tudo ao mesmo tempo, é aí que há algum benefício real.

$0.6$$(\mu,\sigma^2)$$\mu=1.384$$\sigma=1.823$

$E(X)=\int_{-\infty}^{\infty} x \, dF$$x.p(x)$$0$$0.6$$x=0$$0$$x\cdot f(x)$$0$$dF$$0$$F$$0.4$$0$

$g(x)=x$

Mesmo com essas funções muito agradáveis ​​(onde você pode tratá-las como Riemann, onde são contínuas, que é um subconjunto dos casos cobertos por Stieltjes), existem infinidades de casos nessas misturas (em vez de apenas 'discretas' ou 'contínuas' ) que podem ser manipulados por essa notação.

Uma referência útil que usa essa integral amplamente para mostrar ou discutir uma variedade de resultados é a Teoria Avançada de Estatística (Kendall e Stuart - ou em edições mais recentes, Stuart e Ord). Não deixe que o título assuste você, é um livro muito legível.

Portanto, se você (por exemplo) brinca com integrais enquanto observa, digamos, uma desigualdade de Chebyshev, não está apenas fazendo um caso discreto e um caso contínuo ao mesmo tempo ... está cobrindo qualquer distribuição para a qual a integral Stieltjes trabalha - então, se você se pergunta o que acontece em Chebyshev, se você tem uma distribuição como, por exemplo, aquela que chove um, eis que tudo é resolvido pelo mesmo desenvolvimento. E se amanhã, seu amigo aparecer com um beta inflado zero-zero, bem, você já cobriu isso também. E assim por diante ...

[Se você entrar em uma situação em que não pode ver imediatamente o que significa integral, volte para a definição e siga-a.]

(Esta integral agradável pode ser substituída por coisas capazes de lidar com situações ainda mais amplas - para fins estatísticos, geralmente para a integral Lebesgue ou Lesbesgue-Stieltjes )