Variação na estimativa de p para uma distribuição binomial

como posso calcular a variação de p como derivada de uma distribuição binomial? Digamos que eu jogue n moedas e ganhe k heads. Posso estimar p como k / n, mas como posso calcular a variação nessa estimativa?

Estou interessado nisso, para que eu possa controlar a variação nas minhas estimativas de proporção ao comparar entre pontos com diferentes números de tentativas. Eu tenho mais certeza da estimativa de p quando n é maior, então gostaria de poder modelar o quão confiável é a estimativa.

Desde já, obrigado!

exemplo:

40/100. O MLE de p seria 0,4, mas qual é a variação em p?
4/10. O MLE ainda seria 0,4, mas a estimativa é menos confiável, portanto deve haver mais variação em p.

probability variance binomial

— Jautis
fonte

Se é então MLE de é . $X$ $\text{Binomial}(n, p)$ $p$ $\hat{p} = X/n$

Uma variável binomial pode ser considerada a soma de variáveis aleatórias de Bernoulli. que . $n$ $X = \sum_{i=1}^n Y_i$ $Y_i\sim\text{Bernoulli}(p)$

para que possamos calcular a variação do MLE como $\hat{p}$

\begin{aligned} Var [\hat{p}] & = Var [\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} Y_{i}] \\ = \frac{1}{n^{2}} \sum_{i = 1}^{n} V a r [Y_{i}] \\ = \frac{1}{n^{2}} \sum_{i = 1}^{n} p (1 - p) \\ = \frac{p (1 - p)}{n} \end{aligned}

$\begin{align*} \text{Var}[\hat{p}] &= \text{Var}\left[\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n Y_i\right]\\ &= \dfrac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n Var[Y_i]\\ &= \dfrac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n p(1-p)\\ &= \dfrac{p(1-p)}{n} \end{align*}$

Assim, você pode ver que a variação do MLE fica menor para o grande , e também é menor para próximo a 0 ou 1. Em termos de , é maximizada quando . $n$ $p$ $p$ $p=0.5$

Para alguns intervalos de confiança, você pode conferir Intervalos de confiança binomiais

— bdeonovic
fonte

Acho que o link é semelhante ao que estou procurando, mas quero um valor equivalente à variação de p. Como posso obter isso do intervalo de confiança?

— Jautis 19/01/16

Editei minha resposta original para responder mais de perto à sua pergunta.

— precisa saber é

Como você lida que a fórmula da variação requer p, mas você só tem uma estimativa de p?

— Ramon Martinez

Você poderia considerar o uso de uma variação estabilização transformar tais como e então você começa que a variância da variável transformada é

a r c s i n (\sqrt{\hat{p}})

$arcsin(\sqrt{\hat{p}})$

\frac{1}{4 n}

$\tfrac{1}{4n}$

— bdeonovic