Intervalos aleatórios sobrepostos

Como posso encontrar uma expressão analítica no seguinte problema? $D(n,l,L)$

Eu aleatoriamente solto "barras" de comprimento em um intervalo . As "barras" podem se sobrepor. Eu gostaria de encontrar o comprimento total médio do intervalo ocupado por pelo menos uma "barra". $n$ $l$ $[0,L]$ $D$ $[0,L]$

No limite de "baixa densidade", a sobreposição deve ser insignificante e . No limite de "alta densidade", aproxima . Mas como posso obter uma expressão geral para ? Esse deveria ser um problema estatístico bastante fundamental, mas não consegui encontrar uma solução explicativa nos fóruns. $D = n\cdot l$ $D$ $L$ $D$

Qualquer ajuda seria muito apreciada.

Observe que as barras são descartadas verdadeiramente aleatórias (estatisticamente independentes) uma da outra.

probability distributions

— Daniel
fonte

Esta é uma pergunta de um curso ou livro? Em caso afirmativo, adicione a [self-study]tag e leia seu wiki .

— gung - Restabelece Monica

Não, não é. você pode calcular facilmente o comprimento médio ocupado com um computador por amostragem, mas o problema parece fundamental que deve haver uma abordagem teórica para resolvê-lo. Como todas as minhas tentativas falharam, fiquei curioso sobre como fazê-lo.

— Daniel

Qual é o seu modelo de como as barras são "soltas" em [0, L]? É possível que eles se destacem nas bordas? Editar: seu desenho e resposta sugerem que é.

— Adrian

Encontrar probabilidade

que um dado

NÃO é coberto - que é uma intersecção

eventos IID. Então o comprimento esperado de uma porção descoberta é simplesmente

p (x) d x

$p(x)dx$

d x

$dx$

n

$n$

\int_{0}^{L} p (x) d x

$\int_0^L p(x)dx$

— AS

| ---------------- || ---------------- | -------------- --------------------- | ---------------- || ---------- ------ |

$x_0 - l/2\ \ \ \ \ x_0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_0 + l/2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_0+L - l/2 \ \ \ \ x_0+L \ \ \ \ x_0 + L + l/2$

A probabilidade de um ponto em ser ocupado por uma única barra suspensa é $[x_0,x_0 + L]$

$x \in [x_0, x_0 + l/2): \ P_{o} = \frac{1}{L}(x-x_0+l/2)$

$x \in [x_0 + l/2, x_0 + L - l/2]: \ P_{o} = \frac{l}{L}$

$x \in (x_0 + L - l/2, x_0 + L]: \ P_{o} = \frac{1}{L}(-x+x_0+l/2+L)$

$P_{e} = 1 - P_o$ $n$ $P_e^{n}$

$P_{o,n} = 1 - (1-P_o)^n = 1- (1-\frac{nP_o}{n})^n \approx 1 - e^{-nP_o}$

$n$

$[x_0,x_0 + L]$ $n$

$\langle D \rangle = L\langle P_{o,n} \rangle = \int_{x_0}^{x_0+L} P_{o,n}dx$

— Daniel
fonte

P_{0}

$P_0$

l = L = 1

$l=L=1$

[- l, L] = [- 1, 1]

$[-l, L]=[-1,1]$

0

$0$

1 / 2

$1/2$

l / L = 1

$l/L=1$

Obrigado pelas dicas. Você está certo, eu deveria ter escrito que deveria haver zero correlação entre os "desenhos" aleatórios. E você também tem razão, a solução acima é válida apenas quando as barras não podem sobressair. Como o problema poderia ser resolvido quando permitimos que eles se destacassem?

— Daniel

x, y \in [0, L]

$x,y\in [0,L]$

x

$x$

y

$y$

| x - y | > l

$|x-y|\gt l$

Eu considerei os efeitos de fronteira agora. Entendo que a ocupação de dois pontos diferentes no intervalo está correlacionada, mas não vejo como isso afetaria a solução.

— Daniel