Existe uma definição aceita para a mediana de uma amostra no plano ou espaços ordenados mais altos?

Se sim, o que? Se não, por que não?

Para uma amostra na linha, a mediana minimiza o desvio absoluto total. Parece natural estender a definição para R2, etc., mas nunca a vi. Mas então, eu estive no campo esquerdo por um longo tempo.

Não tenho certeza de que exista uma definição aceita para uma mediana multivariada. O que eu estou familiarizado é o ponto médio de Oja , que minimiza a soma dos volumes de simplicidades formados sobre subconjuntos de pontos. (Veja o link para uma definição técnica.)

Atualização: O site referenciado para a definição de Oja acima também possui um bom artigo que abrange várias definições de uma mediana multivariada:

• Medidas geométricas da profundidade de dados

Como o @Ars disse, não há definição aceita (e esse é um bom ponto). Existem alternativas famílias gerais de maneiras de generalizar quantiles em , acho que o mais importante são:$\mathbb{R}^d$

• Generalize o processo quantil Seja$P_n(A)$ a medida empírica (= a proporção de observações em$A$ ). Então, com$\mathbb{A}$ um subconjunto bem escolhido dos conjuntos de Borel em$\mathbb{R}^d$ e$\lambda$ uma medida real valorizado, você pode definir a função quantil empírico:

  $U_n(t)=\inf (\lambda(A) : P_n(A)\geq t A\in\mathbb{A})$

  Suponha que você pode encontrar um que lhe dá a mínima. Em seguida, o conjunto (ou um elemento do conjunto) A 1 / 2 - ε ∩ A 1 / 2 + ε dá-lhe a mediana quando ε é feito pequeno o suficiente. A definição da mediana é recuperada ao usar A = ( ] - ∞ , x ] x ∈ R ) e λ ( ] - ∞ , x ] ) = x . Ars$A_{t}$$A_{1/2-\epsilon}\cap A_{1/2+\epsilon}$$\epsilon$$\mathbb{A}=(]-\infty,x] x\in\mathbb{R})$$\lambda(]-\infty,x])=x$A resposta se enquadra nessa estrutura, eu acho ... a localização no meio espaço de tukey pode ser obtida usando e λ ( H x ) = x (com x ∈ R , um ∈ R d ).$\mathbb{A}(a)=( H_{x}=(t\in \mathbb{R}^d :\; \langle a, t \rangle \leq x )$$\lambda(H_{x})=x$$x\in \mathbb{R}$$a\in\mathbb{R}^d$

• definição variacional e estimação M A idéia aqui é que o quantil Q α de uma variável aleatória Y em R possa ser definido através de uma igualdade variacional.$\alpha$$Q_{\alpha}$$Y$$\mathbb{R}$

  • A definição mais comum é usar a função de regressão quantílica (também conhecida como perda de pinball, adivinhe por quê?) Q α = a r g inf x ∈ R E [ ρ α ( Y - x ) ] . O caso α = 1 / 2 dá ρ 1 / 2 ( y ) = | y | e você pode generalizar isso para uma dimensão superior usando l $\rho_{\alpha}$$Q_{\alpha}=arg\inf_{x\in \mathbb{R}}\mathbb{E}[\rho_{\alpha}(Y-x)]$$\alpha=1/2$$\rho_{1/2}(y)=|y|$$l^1$distâncias conforme feito no @Srikant Answer . Essa é a mediana teórica, mas fornece a mediana empírica se você substituir a expectativa pela expectativa empírica (média).

  • Mas Kolshinskii propõe o uso da transformação Legendre-Fenchel: desde que onde f ( s ) = $Q_{\alpha}=Arg\sup_s (s\alpha-f(s))$paras∈R. Ele dá muitas razões profundas para isso (veja o artigo;)). Generalizando este para dimensões maiores requerem trabalhar com um vectorialαe substituindosαpor⟨s,α⟩mas você pode tomarα=(1/2,...,1/2).$f(s)=\frac{1}{2}\mathbb{E} [|s-Y|-|Y|+s]$$s\in \mathbb{R}$$\alpha$$s\alpha$$\langle s,\alpha\rangle$$\alpha=(1/2,\dots,1/2)$

• Ordenação parcial Você pode generalizar a definição de quantiles em assim que você pode criar uma ordem parcial (com classes de equivalência).$\mathbb{R}^d$

Obviamente, existem pontes entre as diferentes formulações. Eles não são todos óbvios ...

Existem maneiras distintas de generalizar o conceito de mediana para dimensões superiores. Uma ainda não mencionada, mas que foi proposta há muito tempo, é construir um casco convexo, removê-lo e repetir o máximo de tempo possível: o que resta no último casco é um conjunto de pontos que são todos candidatos a serem " medianas ".

"Bater a cabeça" é outra tentativa mais recente (c. 1980) de construir um centro robusto para uma nuvem de pontos 2D. (O link está para a documentação e o software disponíveis no Instituto Nacional do Câncer dos EUA.)

A principal razão pela qual existem várias generalizações distintas e nenhuma solução óbvia é que R1 pode ser ordenado, mas R2, R3, ... não.

A mediana geométrica é o ponto com a menor distância euclidiana média das amostras

A mediana de meio espaço do Tukey pode ser estendida para> 2 dimensões usando o DEEPLOC, um algoritmo devido a Struyf e Rousseeuw; veja aqui para detalhes.

O algoritmo é usado para aproximar o ponto de maior profundidade com eficiência; Os métodos ingênuos que tentam determinar isso exatamente entram em conflito com (a versão computacional) da "maldição da dimensionalidade", onde o tempo de execução necessário para calcular uma estatística cresce exponencialmente com o número de dimensões do espaço.

Uma definição que se aproxima disso, para distribuições unimodais, é a mediana do meio-espaço tukey

• http://cgm.cs.mcgill.ca/~athens/Geometric-Estimators/halfspace.html
• http://www.isical.ac.in/~statmath/html/publication/Tukey_tech_rep.pdf
• https://www.isical.ac.in/~statmath/report/11310-15.pdf

Eu não sei se existe qualquer definição, mas vou tentar e estender a definição padrão da mediana para . Vou usar a seguinte notação:$R^2$

, Y : as variáveis ​​aleatórias associadas às duas dimensões.$X$$Y$

, m y : as medianas correspondentes.$m_x$$m_y$

: o pdf conjunto para nossas variáveis ​​aleatórias$f(x,y)$

Para alargar a definição da mediana para , nós escolhemos m x e m y para minimizar o seguinte:$R^2$$m_x$$m_y$

$E(|(x,y) - (m_x,m_y)|$

O problema agora é que precisamos de uma definição para o que queremos dizer com:

$|(x,y) - (m_x,m_y)|$

A descrição acima é, em certo sentido, uma métrica de distância e várias possíveis definições de candidatos são possíveis.

Eucliedan Metric

$|(x,y) - (m_x,m_y)| = \sqrt{(x-m_x)^2 + (y-m_y)^2}$

$f(x,y)$

Taxicab Metric

$|(x,y) - (m_x,m_y)| = |x-m_x| + |y-m_y|$

$X$$Y$$x$$y$