Intervalo de confiança baseado em inicialização

Enquanto estudava o intervalo de confiança baseado em bootstrap, li uma vez a seguinte declaração:

Se a distribuição de autoinicialização estiver inclinada para a direita, o intervalo de confiança baseado em autoinicialização incorpora uma correção para mover os terminais ainda mais para a direita; isso pode parecer contra-intuitivo, mas é a ação correta.

Estou tentando entender a lógica subjacente à declaração acima.

A questão está relacionada à construção fundamental de intervalos de confiança e, quando se trata de inicialização, a resposta depende de qual método de inicialização é usado.

Consideremos a seguinte é um estimador de um parâmetro de valor real θ com (uma estimativa) desvio padrão se , em seguida, um intervalo de confiança de 95% padrão baseado em um normal de N ( θ , SE 2 ) aproximação é θ ± 1,96 SE . Este intervalo de confiança é derivado como o conjunto de θ 's que cumprir z 1 ≤ θ - θ ≤ Z 2 , onde Z 1 = - 1,96 $\hat{\theta}$$\theta$$\text{se}$$N(\theta, \text{se}^2)$

$$\hat{\theta} \pm 1.96 \text{se}.$$ $\theta$ $$z_{1} \leq \hat{\theta} - \theta \leq z_2$$ $z_1 = -1.96\text{se}$é o quantil de 2,5% e é o quantil de 97,5% para a distribuição de N ( 0 , se 2 ) . A observação interessante é que quando reorganizando as desigualdades temos o intervalo de confiança expressa como { θ | θ - z 2 ≤ θ ≤ θ - z 1 } = [ θ - z 2 , θ - z 1 ] $z_2 = 1.96\text{se}$$N(0, \text{se}^2)$ $$\{\theta \mid \hat{\theta} - z_2 \leq \theta \leq \hat{\theta} - z_1 \} = [\hat{\theta} - z_2, \hat{\theta} - z_1].$$ Ou seja, é o quantil inferior a 2,5% que determina o ponto final direito e o quantil superior a 97,5% que determina o ponto final esquerdo .

Se a distribuição amostral de θ é certo enviesado em comparação com a aproximação normal, o que é então a ação apropriada? Se inclinado para a direita significa que o quantil de 97,5% para a distribuição da amostra é z 2 > 1,96 se , a ação apropriada é mover o ponto final esquerdo para a esquerda. Ou seja, se mantivermos a construção padrão acima. Um uso padrão do bootstrap é estimar os quantis de amostragem e depois usá-los em vez de ± 1,96 se na construção acima.$\hat{\theta}$$z_2 > 1.96\text{se}$$\pm 1.96 \text{se}$

No entanto, uma outra construção padrão usado em bootstrapping é o intervalo de percentil , o qual é na terminologia acima. É simplesmente o intervalo do quantil 2,5% ao quantil de 97,5% para a distribuição de amostragem de θ . A distribuição amostral da direita distorcida de θ implica um intervalo de confiança direito do inclinada. Pelas razões mencionadas acima, este

$$[\hat{\theta} + z_1, \hat{\theta} + z_2].$$ $\hat{\theta}.$$\hat{\theta}$parece-me um comportamento contra-intuitivo de intervalos percentuais. Mas eles têm outras virtudes e são, por exemplo, invariantes sob transformações monótonas de parâmetros.

Os intervalos de bootstrap de BCa (corrigidos e acelerados), conforme introduzidos por Efron, veja, por exemplo, os intervalos de confiança de bootstrap , melhoram as propriedades dos intervalos de percentis. Só posso adivinhar (e pesquisar no google) a citação do post do OP, mas talvez BCa seja o contexto apropriado. Citando Diciccio e Efron do trabalho mencionado, página 193,

$a$$z_0$$\phi = m(\theta)$$\hat{\phi} = m(\hat{\theta})$$\theta$

$$\hat{\phi} \sim N(\phi - z_0 \sigma_{\phi}, \sigma_{\phi}^2), \quad \sigma_{\phi} = 1 + a \phi.$$ $\theta$$\hat{\theta}$

$m$