Como o teste qui-quadrado de Pearson funciona

Após uma recente votação suspensa, tenho tentado verificar meu entendimento do teste de Pearson Chi Squared. Normalmente, uso a estatística do qui quadrado (ou estatística do qui quadrado reduzido) para ajustar ou verificar o ajuste resultante. Nesse caso, a variação não é geralmente o número esperado de contagens em uma tabela ou histograma, mas alguma variação determinada experimentalmente. De qualquer forma, sempre tive a impressão de que o teste ainda usava a normalidade assintótica do PDF multinomial (ou seja, minha estatística de teste é

Q = (n - N m)^{⊤} V^{- 1} (n - N m)

$Q = (n-Nm)^\top V^{-1}(n-Nm)$

e é assintoticamente multinormal, onde é a matriz de covariância). Portanto, tem uma distribuição qui-quadrado dada grande, portanto, usando o número esperado de contagens, pois o denominador na estatística se torna válido para grande . É possível que isso seja verdade apenas para histogramas, não analisei uma pequena tabela de dados há anos. $(n-Nm)$ $V$ $Q$ $n$ $n$

Existe um argumento mais sutil que estou faltando? Eu estaria interessado em uma referência, ou melhor ainda, em uma breve explicação. (Embora seja possível, acabei de votar por omitir a palavra assintótica, que eu admito é bastante importante.)

chi-squared histogram

— Bowler
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Após isso, presumivelmente, também é verdade que alguém poderia usar exatamente o mesmo teste com qualquer dado normalmente distribuído. Se eu fosse usar um voltímetro que eu sabia que tinha algum erro normalmente distribuído que eu havia determinado, então eu poderia usar,

. Isso é verdade? Presumivelmente, a estatística reduzida do quadrado do chi se baseia nesse fato.

χ^{2} = \sum_{i} \frac{(V_{o b s} - V_{e x p})^{2}}{σ^{2}}

$\chi^{2} = \sum_{i} \frac{(V_{obs} - V_{exp})^{2}}{\sigma^{2}}$

— Bowler

Um teste do qui-quadrado é projetado para analisar dados categóricos. Isso significa que os dados foram contados e divididos em categorias. Não funcionará com dados paramétricos ou contínuos. Portanto, não funciona para determinar o ajuste resultante em todas as instâncias.

Fonte: http://www.ling.upenn.edu/~clight/chisquared.htm

— BradHanks
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Bem-vindo a este site! Não sei ao certo como isso se relaciona com a questão em questão. Você se importaria de expandir um pouco essa resposta, tendo em mente que esse segmento provavelmente se refere mais ao teste de qualidade do ajuste do que à análise de tabelas de contingência bidirecional?

— chl

Posso ter entendido mal a pergunta, mas estava me perguntando se o teste do qui-quadrado era apropriado neste exemplo. Eu poderia ser um pouco enferrujado ...

— BradHanks

χ^{2}

$\chi^2$

χ^{2}

$\chi^2$