Qual é a hipótese nula no teste de Mann-Whitney?

Seja um valor aleatório da distribuição 1 e seja um valor aleatório da distribuição 2. Pensei que a hipótese nula para o teste de Mann-Whitney fosse P (X_1 <X_2) = P (X_2 <X_1) .X 2 P ( X 1 < X 2 ) = P ( X 2 < $X_1$$X_2$$P(X_1 < X_2) = P(X_2 < X_1)$

Se eu executar simulações do teste de Mann-Whitney em dados de distribuições normais com médias e variações iguais, com $\alpha=0.05$ , recebo taxas de erro do tipo I muito próximas de 0,05. No entanto, se eu tornar as variações desiguais (mas deixar as médias iguais), a proporção de simulações nas quais a hipótese nula é rejeitada se tornará maior que 0,05, o que eu não esperava, pois $P(X_1 < X_2) = P(X_2 < X_1)$ ainda é válido. Isso acontece quando eu uso wilcox.testem R, independentemente de eu ter exact=TRUE, exact=FALSE, correct=TRUEou exact=FALSE, correct=FALSE.

A hipótese nula é algo diferente do que escrevi acima, ou apenas o teste é impreciso em termos de erro do tipo I se as variações forem desiguais?

De Hollander & Wolfe, pp. 106-7,

Seja a função de distribuição correspondente à população 1 e seja a função de distribuição correspondente à população 2. A hipótese nula é: para cada . A hipótese nula afirma que a variável e a variável têm a mesma distribuição de probabilidade, mas a distribuição comum não é especificada.G H O : F ( t ) = G ( t ) t X $F$$G$$H_O: F(t)=G(t)$$t$$X$$Y$

A rigor, isso descreve o teste de Wilcoxon, mas , portanto eles são equivalentes.$U=W-\frac{n(n+1)}{2}$