Quantos dos maiores termos em

Considere onde são iid e o CLT mantém. Quantos dos maiores termos somam metade da soma total? Por exemplo, 10 + 9 + 8 (10 + 9 + 8 + 1) / 2: 30% dos termos atingem cerca da metade do total. $\sum_{i=1}^N |X_i|$ $X_1, \ldots, X_N$

$\approx$ $\dots$

Definir
$\qquad\text{sumbiggest( j}; X_1 \dots X_N ) \equiv \text{sum of the j biggest of } |X_1| \dots |X_N|$
$\qquad\text{halfsum}( N ) \equiv \text{the smallest j such that sumbiggest( j )} \approx \text{sumbiggest}( N ) / 2 .$

Existe um resultado assintótico geral para halfsum ( )? Uma derivação simples e intuitiva seria legal. $N, \mu, \sigma$

(Um pouco de Monte Carlo sugere que às vezes halfsum ( ) / 4 ou assim; isto é, a maior 1/4 do . Adicionar até 1/2 do total Recebo 0,24 para halfnormal, 0,19 para exponencial, para = 20, 50, 100.) $N$ $\approx N$
$X_i$
$N$ $N$ $N$

central-limit-theorem asymptotics

— denis
fonte

Não espere um resultado universal semelhante ao CLT. Por exemplo, a resposta para variáveis uniformes (0,1) será muito diferente da resposta para variáveis uniformes (1000,1001)!

— whuber

Certo, o halfsum dependerá da média e do sd. Mas por que ~ N / 5 para exponencial?

— Denis #

Assintoticamente, Denis, o ponto de corte para a halfsum será o valor de

para o qual

onde

é a pdf para

; a pergunta pede

(

é o cdf para

). No caso do uniforme

x

$x$

\int_{0}^{x} t f (t) d t = 1 / 2

$\int_0^x t f(t)dt = 1/2$

f

$f$

| X_{i} |

$|X_i|$

N (1 - F (x))

$N(1-F(x))$

F

$F$

| X_{i} |

$|X_i|$

[0, 1]

$[0,1]$ distribuição você recebe a resposta de @ Dilip; por um exponencial,

x \approx 0.186682 N \approx N / 5

$x\approx 0.186682 N \approx N/5$

— whuber

Respostas:

Não, não há um resultado assintótico geral. Vamos ser o ordenou , onde é o maior. $x_{[1]} \dots x_{[N]}$ $x_i$ $x_{[1]}$

Considere os dois exemplos a seguir:

1) . Claramente, o CLT é válido. Você só precisa observação para $P(x=0) = 1$ $M=1$ . $\sum_{j=1}^M|x_{[j]}| \ge \frac{1}{2} \sum_N|x_i|$

$P(x=1) = 1$ $M=\lceil N/2\rceil$ $\sum_{j=1}^M|x_{[j]}| \ge \frac{1}{2} \sum_N|x_i|$

Para um exemplo não trivial, a distribuição de Bernoulli:

$P(x=1) = p,\space P(x=0) = 1-p$ $\lceil pN/2\rceil$ $p$

— jbowman
fonte

0

$0$

N / 2

$N/2$

x [i]

$x[i]$

$X_i$ $[0,1]$ $\sum_i X_i$ $N/2$ $N/2$ $X$ $N/4$ $N$ $N$ $U[0,1]$ $0$ $1$ $x$ $0 < x < 1$ $(1-x)N$ $x$ $1$ $(1+x)/2$ $(1-x)N(1+x)/2) = (1-x^2)N/2$ $N/4$ $x \leq 1/\sqrt{2}$ $(1-1/\sqrt{2})N \approx 0.3N$ $N/4$

$\sum_i X_i = Y$ $Y$ $x$ $(1-x^2)N/2 = Y/2$ $Y$ $N/2$ $N/12$ $Y$ $x = \sqrt{1-(Y/N)}$ $Y$ $Y=0$ $Y=N$

— Dilip Sarwate
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(0, 1)

$(0,1)$

1

$1$

(0, \infty)

$(0,\infty)$

Y_{1}, Y_{2}, \dots, Y_{n + 1}

$Y_1, Y_2, \ldots, Y_{n+1}$

Y_{max} = α

$Y_{\max} = \alpha$

Y_{(1)}, Y_{(2)}, \dots, Y_{(n)}

$Y_{(1)}, Y_{(2)}, \ldots, Y_{(n)}$

(0, α)

$(0, \alpha)$

De qualquer forma, meu argumento não usa as distâncias entre as amostras ordenadas da distribuição uniforme.

— Dilip Sarwate

Você está certo, eu te entendi mal. Como uma questão paralela, as partes entre pontos aleatórios uniformes não são distribuídas exponencialmente, após o dimensionamento - o inverso do seu q + a? [Regra quebrada do Projeto de Demonstrações Wolfram] ( demonstrations.wolfram.com/BrokenStickRule ) com certeza parece exponencial, deve ser fácil? prova.

— Denis #

Faça sua pergunta paralela como uma pergunta separada.

— Dilip Sarwate

Começou, então viu a distribuição de probabilidade dos comprimentos de fragmentos , você pode comentar lá.

— Denis #

Vamos supor que X tenha apenas valores positivos para se livrar do valor absoluto.

Sem uma prova exata, acho que você tem que resolver k

$(1-F_{X}(k))E(X|X>=k)= \frac{1}{2} E(X)$

$n(1-F_X(k))$

Minha lógica é que, assimetricamente, a soma de todos os valores maiores que k deve ser de aproximadamente

$n(1-F_{X}(k))E(X|X>=k)$

e assimtopicamente metade da soma total é de cerca de

$\frac{1}{2}nE(X)$

$[0,1]$ $F(k)=k$ $k=\sqrt(\frac{1}{2})$

— Erik
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