Intervalo de confiança do terceiro momento da distribuição normal

Como calcular o intervalo de confiança exato para o terceiro momento da distribuição normal ? $N(a, \sigma^2)$

— Lilith
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Não, apenas . Por preciso, quero dizer, que o intervalo deve ser tal, que , não

E X^{3}

$E X^3$

P (A < a^{3} + 3 a σ^{2} < B) = α

$P(A < a^3 + 3a\sigma^2 < B) = \alpha$

\geq α

$\ge \alpha$

— Lilith

Se você quer dizer um intervalo exato de confiança, acredito que isso não seja possível, devido a este projecteuclid.org/euclid.aop/1176991795 .

— Greenparker 29/02

@ Greenparker, por que para X Normal é indeterminado, ie. existem outras distribuições com a mesma coleção infinita de momentos, implica um intervalo exato de confiança que não seria possível (ou não) para ? Por exemplo, não somos capazes de produzir intervalos de confiança exatos para (a média de) um Lognormal (também indeterminado), mesmo que haja infinitas distribuições alternativas possuindo todos os mesmos momentos?

X^{3}

$X^3$

X^{3}

$X^3$

— Mark L. Stone

@gung O terceiro momento central não é o mesmo que a distorção (momento). Você precisaria dividir por primeiro.

σ^{3}

$\sigma^3$

— Glen_b -Reinstala Monica

@ Greenparker Esse artigo não implica que você não possa calcular a distribuição de ; "indeterminado" significa algo muito específico (sobre a singularidade dos momentos de ). [Em uma questão diferente, fico surpreso que um artigo com um erro tão notório no título tenha sido publicado sem ser corrigido. Não é a distribuição que está em cubos, mas a variável aleatória. O que os editores podem estar pensando?]

X^{3}

$X^3$

X^{3}

$X^3$

— Glen_b -Reinstala Monica

Para encontrar um intervalo de confiança para essa quantidade, você precisará formar uma quantidade central que use o terceiro momento bruto como seu único parâmetro desconhecido. Pode não ser possível fazer exatamente isso, mas geralmente é possível obter algo que é uma quantidade aproximadamente essencial que pode ser usada para formar um intervalo de confiança aproximado. Para fazer isso, primeiro encontraremos a forma do terceiro momento bruto que está sendo estimado, depois construiremos um estimador de amostra desse momento e tentaremos usá-lo para construir uma quantidade quase dinâmica e um intervalo de confiança resultante.

Qual é o terceiro momento bruto de uma distribuição normal? Tome como uma variável aleatória normal arbitrária e defina . O terceiro momento bruto de é: $X \sim \text{N}(\mu, \sigma^2)$ $Y = X-\mu \sim \text{N}(0, \sigma^2)$ $X$

\begin{aligned} μ_{3} \equiv E (X^{3}) & = E ((μ + Y)^{3}) \\ = E (Y^{3} + 3 μ Y^{2} + 3 μ^{2} Y + μ^{3}) \\ = 0 + 3 μ σ^{2} + 0 + μ^{3} \\ = 3 μ σ^{2} + μ^{3} . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \mu_3 \equiv \mathbb{E}(X^3) &= \mathbb{E}((\mu + Y)^3) \\[6pt] &= \mathbb{E}(Y^3 + 3 \mu Y^2 + 3 \mu^2 Y + \mu^3) \\[6pt] &= 0 + 3 \mu \sigma^2 + 0 + \mu^3 \\[6pt] &= 3 \mu \sigma^2 + \mu^3. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$

Este é o parâmetro que você está tentando estimar em sua análise.

Estimador não tendencioso do terceiro momento bruto: Normalmente, estimaríamos o parâmetro da média com a média da amostra e o parâmetro da variância com a variação da amostra, mas, neste caso, queremos estimar uma função dessas coisas, e a substituição desses estimadores provavelmente levar a um estimador tendencioso. Começaremos tentando encontrar um estimador imparcial do terceiro momento bruto. Para fazer isso, começamos observando que:

\begin{aligned} E ({\bar{X}}_{n}^{3}) & = E ((μ + {\bar{Y}}_{n})^{3}) \\ = E ({\bar{Y}}_{n}^{3} + 3 μ {\bar{Y}}_{n}^{2} + 3 μ^{2} {\bar{Y}}_{n} + μ^{3}) \\ = 0 + 3 μ \frac{σ^{2}}{n} + 0 + μ^{3} \\ = \frac{3}{n} μ σ^{2} + μ^{3} . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \mathbb{E}(\bar{X}_n^3) &= \mathbb{E}((\mu + \bar{Y}_n)^3) \\[6pt] &= \mathbb{E}(\bar{Y}_n^3 + 3 \mu \bar{Y}_n^2 + 3 \mu^2 \bar{Y}_n + \mu^3) \\[6pt] &= 0 + 3 \mu \frac{\sigma^2}{n} + 0 + \mu^3 \\[6pt] &= \frac{3}{n} \mu \sigma^2 + \mu^3. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$

Sabemos pelo teorema de Cochran que a média da amostra e a variação da amostra dos dados normais são independentes e, portanto, também temos . Portanto, com base nesses resultados, podemos formar o estimador imparcial : $\mathbb{E}(\bar{X}_n S_n^2) = \mathbb{E}(\bar{X}_n) \mathbb{E}(S_n^2) = \mu \sigma^2$

{\hat{μ}}_{3} = \frac{3 (n - 1)}{n} \cdot {\bar{X}}_{n} S^{2} + {\bar{X}}_{n}^{3} .

$\hat{\mu}_3 = \frac{3(n-1)}{n} \cdot \bar{X}_n S^2 + \bar{X}_n^3.$

Variação do estimador: Sabemos que o valor esperado desse estimador é igual ao terceiro momento bruto da distribuição (para ver isso, basta substituir as expressões de valor acima esperadas); no entanto, a variação do estimador é trabalhosa para derivar. Como resultados preliminares, temos:

\begin{aligned} V ({\bar{X}}_{n} S^{2}) & = V ({\bar{X}}_{n}) V (S^{2}) \\ = \frac{1}{n} σ^{2} \cdot \frac{2}{n - 1} σ^{4} \\ = \frac{2}{n (n - 1)} σ^{6}, \\ V ({\bar{X}}_{n}^{3}) & = E ({\bar{X}}_{n}^{6}) - E ({\bar{X}}_{n}^{3})^{2} \\ = (\frac{15}{n^{3}} σ^{6} + \frac{45}{n^{2}} μ^{2} σ^{4} + \frac{15}{n} μ^{4} σ^{2} + μ^{6}) - (\frac{3}{n} μ σ^{2} + μ^{3})^{2} \\ = (\frac{15}{n^{3}} σ^{6} + \frac{45}{n^{2}} μ^{2} σ^{4} + \frac{15}{n} μ^{4} σ^{2} + μ^{6}) - (\frac{9}{n^{2}} μ^{2} σ^{4} + \frac{6}{n} μ^{4} σ^{2} + μ^{6}) \\ = \frac{15}{n^{3}} σ^{6} + \frac{36}{n^{2}} μ^{2} σ^{4} + \frac{9}{n} μ^{4} σ^{2}, \\ C ({\bar{X}}_{n} S^{2}, {\bar{X}}_{n}^{3}) & = E ({\bar{X}}_{n}^{4} S^{2}) - E ({\bar{X}}_{n} S^{2}) E ({\bar{X}}_{n}^{3}) \\ = E ({\bar{X}}_{n}^{4}) E (S^{2}) - E ({\bar{X}}_{n}) E ({\bar{X}}_{n}^{3}) E (S^{2}) \\ = (\frac{3}{n^{2}} σ^{4} + \frac{6}{n} μ^{2} σ^{2} + μ^{4}) σ^{2} - μ (\frac{3}{n} μ σ^{2} + μ^{3}) σ^{2} \\ = (\frac{3}{n^{2}} σ^{4} + \frac{6}{n} μ^{2} σ^{2} + μ^{4}) σ^{2} - (\frac{3}{n} μ^{2} σ^{2} + μ^{4}) σ^{2} \\ = (\frac{3}{n^{2}} σ^{4} + \frac{3}{n} μ^{2} σ^{2}) σ^{2} \\ = \frac{3}{n^{2}} σ^{6} + \frac{3}{n} μ^{2} σ^{4} . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \mathbb{V}(\bar{X}_n S^2) &= \mathbb{V}(\bar{X}_n) \mathbb{V}(S^2) \\[6pt] &= \frac{1}{n} \sigma^2 \cdot \frac{2}{n-1} \sigma^4 \\[6pt] &= \frac{2}{n(n-1)} \sigma^6, \\[12pt] \mathbb{V}(\bar{X}_n^3) &= \mathbb{E}(\bar{X}_n^6) - \mathbb{E}(\bar{X}_n^3)^2 \\[6pt] &= \Big( \frac{15}{n^3} \sigma^6 + \frac{45}{n^2} \mu^2 \sigma^4 + \frac{15}{n} \mu^4 \sigma^2 + \mu^6 \Big) - \Big( \frac{3}{n} \mu \sigma^2 + \mu^3 \Big)^2 \\[6pt] &= \Big( \frac{15}{n^3} \sigma^6 + \frac{45}{n^2} \mu^2 \sigma^4 + \frac{15}{n} \mu^4 \sigma^2 + \mu^6 \Big) - \Big( \frac{9}{n^2} \mu^2 \sigma^4 + \frac{6}{n} \mu^4 \sigma^2 + \mu^6 \Big) \\[6pt] &= \frac{15}{n^3} \sigma^6 + \frac{36}{n^2} \mu^2 \sigma^4 + \frac{9}{n} \mu^4 \sigma^2, \\[12pt] \mathbb{C}(\bar{X}_n S^2, \bar{X}_n^3) &= \mathbb{E}(\bar{X}_n^4 S^2) - \mathbb{E}(\bar{X}_n S^2) \mathbb{E}(\bar{X}_n^3) \\[6pt] &= \mathbb{E}(\bar{X}_n^4) \mathbb{E}(S^2) - \mathbb{E}(\bar{X}_n) \mathbb{E}(\bar{X}_n^3) \mathbb{E}(S^2) \\[6pt] &= \Big( \frac{3}{n^2} \sigma^4 + \frac{6}{n} \mu^2 \sigma^2 + \mu^4 \Big) \sigma^2 - \mu \Big( \frac{3}{n} \mu \sigma^2 + \mu^3 \Big) \sigma^2 \\[6pt] &= \Big( \frac{3}{n^2} \sigma^4 + \frac{6}{n} \mu^2 \sigma^2 + \mu^4 \Big) \sigma^2 - \Big( \frac{3}{n} \mu^2 \sigma^2 + \mu^4 \Big) \sigma^2 \\[6pt] &= \Big( \frac{3}{n^2} \sigma^4 + \frac{3}{n} \mu^2 \sigma^2 \Big) \sigma^2 \\[6pt] &= \frac{3}{n^2} \sigma^6 + \frac{3}{n} \mu^2 \sigma^4. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$

Isso nos dá a variação:

\begin{aligned} V ({\hat{μ}}_{3}) & = V (\frac{3 (n - 1)}{n} \cdot {\bar{X}}_{n} S^{2} + {\bar{X}}_{n}^{3}) \\ = \frac{9 (n - 1)^{2}}{n^{2}} \cdot V ({\bar{X}}_{n} S^{2}) + V ({\bar{X}}_{n}^{3}) + \frac{3 (n - 1)}{n} \cdot C ({\bar{X}}_{n} S^{2}, {\bar{X}}_{n}^{3}) \\ = \frac{18 (n - 1)}{n^{3}} σ^{6} + (\frac{15}{n^{3}} σ^{6} + \frac{36.}{n^{2}} μ^{2} σ^{4} + \frac{9}{n} μ^{4} σ^{2}) + (\frac{9 (n - 1)}{n^{3}} σ^{6} + \frac{9 (n - 1)}{n^{2}} μ^{2} σ^{4}) \\ = \frac{27 n - 12}{n^{3}} \cdot σ^{6} + \frac{9 n + 27}{n^{2}} \cdot μ^{2} σ^{4} + \frac{9}{n} \cdot μ^{4} σ^{2} \\ = \frac{3}{n^{3}} [(9 n - 4) σ^{6} + (3 n^{2} + 9 n) μ^{2} σ^{4} + 3 n^{2} μ^{4} σ^{2}] . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \mathbb{V}(\hat{\mu}_3) &= \mathbb{V} \Big( \frac{3(n-1)}{n} \cdot \bar{X}_n S^2 + \bar{X}_n^3 \Big) \\[6pt] &= \frac{9(n-1)^2}{n^2} \cdot \mathbb{V}(\bar{X}_n S^2) + \mathbb{V}(\bar{X}_n^3) + \frac{3(n-1)}{n} \cdot \mathbb{C} (\bar{X}_n S^2, \bar{X}_n^3) \\[6pt] &= \frac{18(n-1)}{n^3} \sigma^6 + \Big( \frac{15}{n^3} \sigma^6 + \frac{36}{n^2} \mu^2 \sigma^4 + \frac{9}{n} \mu^4 \sigma^2 \Big) + \Big( \frac{9(n-1)}{n^3} \sigma^6 + \frac{9(n-1)}{n^2} \mu^2 \sigma^4 \Big) \\[6pt] &= \frac{27n-12}{n^3} \cdot \sigma^6 + \frac{9n+27}{n^2} \cdot \mu^2 \sigma^4 + \frac{9}{n} \cdot \mu^4 \sigma^2 \\[6pt] &= \frac{3}{n^3} \Big[ (9n-4) \sigma^6 + (3n^2+9n) \mu^2 \sigma^4 + 3n^2 \mu^4 \sigma^2 \Big]. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$

Formando um intervalo de confiança: A partir dos resultados acima, podemos obter um estimador imparcial para o terceiro momento bruto, com variação conhecida. A distribuição exata desse estimador é complicada e sua densidade não pode ser expressa em forma fechada. É possível formar uma quantidade estudada com esse estimador, aproximar sua distribuição e tratá-la como uma quantidade quase-pivotal para obter um intervalo de confiança aproximado. No entanto, esse não seria um intervalo de confiança exato.

— Ben - Restabelecer Monica
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