Temos um experimento aleatório com diferentes resultados formando o espaço amostral $\Omega,$ em que olhamos com interesse em determinados padrões, chamados eventos As álgebras sigma (ou campos sigma) são compostas de eventos aos quais uma medida de probabilidade pode ser atribuída. Certas propriedades são cumpridas, incluindo a inclusão do conjunto nulo e todo o espaço de amostra e uma álgebra que descreve uniões e interseções com diagramas de Venn.$\mathscr{F}.$ P ∅$\mathbb{P}$$\varnothing$

Probabilidade é definida como uma função entre a álgebra e o intervalo . Ao todo, o triplo forma um espaço de probabilidade .$\sigma$$[0,1]$$(\Omega, \mathscr{F}, \mathbb{P})$

Alguém poderia explicar em inglês simples por que o edifício de probabilidade entraria em colapso se não tivéssemos uma álgebra? Eles estão apenas no meio com aquele "F" impossivelmente caligráfico. Eu acredito que eles são necessários; Vejo que um evento é diferente de um resultado, mas o que daria errado sem a -algebras?$\sigma$$\sigma$

A pergunta é: em que tipo de problemas de probabilidade, a definição de um espaço de probabilidade incluindo a álgebra se torna uma necessidade?$\sigma$

Este documento on-line no site da Universidade de Dartmouth fornece uma explicação acessível em inglês. A idéia é um ponteiro giratório girando no sentido anti-horário em um círculo de perímetro unitário :

Começamos construindo um botão giratório, que consiste em um círculo de circunferência da unidade e um ponteiro, como mostrado na Figura. Escolhemos um ponto no círculo e o rotulamos como $0$ e depois rotulamos todos os outros pontos do círculo com a distância, digamos $x$ , de $0$ a esse ponto, medido no sentido anti-horário. O experimento consiste em girar o ponteiro e gravar o rótulo do ponto na ponta do ponteiro. Deixamos que a variável aleatória $X$ denote o valor desse resultado. O espaço da amostra é claramente o intervalo $[0,1)$. Gostaríamos de construir um modelo de probabilidade no qual cada resultado tenha a mesma probabilidade de ocorrer. Se prosseguirmos como fizemos [...] em experimentos com um número finito de resultados possíveis, devemos atribuir a probabilidade $0$ a cada resultado, pois, caso contrário, a soma das probabilidades, sobre todos os resultados possíveis, não igual a 1. (De fato, somar um número incontável de números reais é um negócio complicado; em particular, para que essa soma tenha algum significado, no máximo, muitas das somas podem ser diferentes de $0$ ). No entanto, se todas as probabilidades atribuídas são $0$ , então a soma é $0$ , não $1$ , como deveria ser.

Portanto, se atribuíssemos a cada ponto qualquer probabilidade e, considerando que há um número infinito de pontos (incontável), sua soma somaria $> 1$ .

Para o primeiro ponto de Xi'an: quando você está falando sobre álgebras , está perguntando sobre conjuntos mensuráveis, então, infelizmente, qualquer resposta deve se concentrar na teoria das medidas. Vou tentar fazer isso com cuidado, no entanto.$\sigma$

Uma teoria da probabilidade admitindo todos os subconjuntos de conjuntos incontáveis ​​quebrará a matemática

Considere este exemplo. Suponha que você tem um quadrado unitário em , e você estiver interessado na probabilidade de selecionar aleatoriamente um ponto que é membro de um conjunto específico na unidade quadrado. Em muitas circunstâncias, isso pode ser prontamente respondido com base em uma comparação de áreas dos diferentes conjuntos. Por exemplo, podemos desenhar alguns círculos, medir suas áreas e, em seguida, calcular a probabilidade como a fração do quadrado que cai no círculo. Muito simples.$\mathbb{R}^2$

Mas e se a área do conjunto de interesses não estiver bem definida?

Se a área não estiver bem definida, podemos raciocinar com duas conclusões diferentes, mas completamente válidas (em certo sentido) sobre o que é a área. Então, podemos ter por um lado, e P ( A ) = 0, por outro lado, o que implica 0 = 1 . Isso quebra toda a matemática além do reparo. Agora você pode provar 5 < 0 e várias outras coisas absurdas. Claramente, isso não é muito útil.$P(A)=1$$P(A)=0$$0=1$$5<0$

-algebras são o patch que corrige a matemática$\sigma$

O que é uma álgebra, precisamente? Na verdade, não é tão assustador. É apenas uma definição de quais conjuntos podem ser considerados eventos. Elementos que não estão em F simplesmente não têm uma medida de probabilidade definida. Basicamente, as σ- álgebras são o "patch" que nos permite evitar alguns comportamentos patológicos da matemática, nomeadamente conjuntos não mensuráveis.$\sigma$$\mathscr{F}$$\sigma$

Os três requisitos de um campo podem ser considerados consequências do que gostaríamos de fazer com probabilidade: Um campo σ é um conjunto que possui três propriedades:$\sigma$$\sigma$

1. Encerramento sob sindicatos contáveis.
2. Fechamento sob cruzamentos contáveis.
3. Fechamento sob complementos.

As uniões contáveis ​​e os componentes de interseções contáveis ​​são conseqüências diretas do problema do conjunto não mensurável. Encerramento sob complementos é uma consequência dos axiomas Kolmogorov: se , P ( A c ) deveria ser 1 / 3 . Mas sem (3), pode acontecer que P ( A c ) seja indefinido. Isso seria estranho. O fechamento sob complementos e os axiomas de Kolmogorov permitem dizer coisas como P ( A ∪ A c ) = P $P(A)=2/3$$P(A^c)$$1/3$$P(A^c)$ .$P(A\cup A^c)=P(A)+1-P(A)=1$

Finalmente, estamos considerando eventos em relação a , por isso exigimos ainda que Ω ∈ $\Omega$$\Omega\in\mathscr{F}$

Boas notícias: álgebras são estritamente necessárias para conjuntos incontáveis$\sigma$

Mas! Há boas notícias aqui também. Ou, pelo menos, uma maneira de contornar o problema. Só precisamos de álgebras se estivermos trabalhando em um conjunto com cardinalidade incontável. Se nos restringirmos a conjuntos contáveis, então podemos tomar F = 2 Ω o conjunto de potências de Ω e não teremos nenhum desses problemas porque, para os contáveis Ω , 2 Ω consiste apenas em conjuntos mensuráveis. (Isso é mencionado no segundo comentário de Xi'an.) Você notará que alguns livros didáticos realmente cometerão um truque sutil aqui, e só considerarão conjuntos contáveis ​​ao discutir espaços de probabilidade.$\sigma$$\mathscr{F}=2^\Omega$$\Omega$$\Omega$$2^\Omega$

Além disso, em problemas geométricos em , é perfeitamente suficiente considerar apenas as σ- álgebras compostas de conjuntos para os quais a medida L n é definida. Para fundamentar isso de maneira um pouco mais firme, L n para n = 1 , 2 , 3 corresponde às noções usuais de comprimento, área e volume. Então, o que estou dizendo no exemplo anterior é que o conjunto precisa ter uma área bem definida para ter uma probabilidade geométrica atribuída a ele. E a razão é a seguinte: se admitirmos conjuntos não mensuráveis, podemos terminar em situações nas quais podemos atribuir a probabilidade 1 a algum evento com base em alguma prova e a probabilidade 0 a$\mathbb{R}^n$$\sigma$$\mathcal{L}^n$$\mathcal{L}^n$$n=1,2,3$o mesmo evento de evento com base em alguma outra prova.

Mas não deixe que a conexão com conjuntos incontáveis ​​o confunda! Um equívoco comum de que álgebras são conjuntos contáveis. De fato, eles podem ser contáveis ​​ou incontáveis. Considere esta ilustração: como antes, temos um quadrado unitário. Defina F = Todos os subconjuntos do quadrado da unidade com  medida L 2 definida  . Você pode desenhar um quadrado B com comprimento lateral s para todos os s ∈ ( 0 , 1 ) e com um canto em ( 0 , 0 $\sigma$

Então, como uma questão prática, basta fazer essa observação com frequência suficiente para fazer a observação de que você considera apenas conjuntos mensuráveis ​​de Lebesgue para avançar no problema de interesse.

Mas espere, o que é um conjunto não mensurável?

Receio que só posso lançar um pouco de luz sobre isso. Mas o paradoxo de Banach-Tarski (às vezes o paradoxo "sol e ervilha") pode nos ajudar um pouco:

Dada uma bola sólida no espaço tridimensional, existe uma decomposição da bola em um número finito de subconjuntos disjuntos, que podem ser reunidos de uma maneira diferente para produzir duas cópias idênticas da bola original. De fato, o processo de remontagem envolve apenas mover as peças e girá-las, sem alterar sua forma. No entanto, as peças em si não são "sólidas" no sentido usual, mas dispersas infinitas de pontos. A reconstrução pode trabalhar com apenas cinco peças.

Uma forma mais forte do teorema implica que, dados dois objetos sólidos "razoáveis" (como uma bola pequena e uma bola enorme), qualquer um pode ser remontado no outro. Isso geralmente é declarado informalmente como "uma ervilha pode ser cortada e remontada ao sol" e chamada de "paradoxo da ervilha e do sol". 1 1

Portanto, se você estiver trabalhando com probabilidades em e usando a medida de probabilidade geométrica (a razão de volumes), deseja calcular a probabilidade de algum evento. Mas você se esforçará para definir essa probabilidade com precisão, porque pode reorganizar os conjuntos de seu espaço para alterar os volumes! Se a probabilidade depender do volume e você puder alterar o volume do aparelho para o tamanho do sol ou o tamanho de uma ervilha, a probabilidade também mudará. Portanto, nenhum evento terá uma única probabilidade atribuída a ele. Pior ainda, você pode reorganizar S ∈ Ω tal que o volume de S tem V ( S ) > V ( Ω $\mathbb{R}^3$$S\in\Omega$$S$$V(S)>V(\Omega)$, o que implica que a medida de probabilidade geométrica reporta uma probabilidade , em flagrante violação dos axiomas de Kolmogorov, que exigem que a probabilidade tenha a medida 1.$P(S)>1$

Para resolver esse paradoxo, pode-se fazer uma das quatro concessões:

1. O volume de um conjunto pode mudar quando é girado.
2. O volume da união de dois conjuntos separados pode ser diferente da soma de seus volumes.
3. Os axiomas da teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel com o axioma da escolha (ZFC) podem ter que ser alterados.
4. Alguns conjuntos podem ser marcados como "não mensuráveis" e é necessário verificar se um conjunto é "mensurável" antes de falar sobre seu volume.

A opção (1) não ajuda a definir probabilidades de definição, então está desativada. A opção (2) viola o segundo axioma de Kolmogorov, então está desativado. A opção (3) parece uma péssima idéia porque o ZFC corrige muito mais problemas do que cria. Mas a opção (4) parece atraente: se desenvolvermos uma teoria sobre o que é e o que não é mensurável, teremos probabilidades bem definidas nesse problema! Isso nos leva de volta à teoria da medida, e nosso amigo, a álgebra.$\sigma$

$[0,18), [18, 25), [25,34), \dots$$(\Omega,F)$$F$$[18,25)$$[20,30)$$[20,30)$$F$

$(\Omega', F')$$f:$$f^{-1}(1)$$F$$f$

$F$$F$$A$$B$$A \cap B$$A \cup B$. Agora, exigir fechamento para interseções e uniões contáveis ​​nos permite perguntar conjunções ou disjunções contáveis. E negar uma pergunta é representado pelo conjunto complementar. Isso nos dá uma álgebra sigma.

Eu vi esse tipo de introdução primeiro no muito bom livro de Peter Whittle, "Probabilidade via expectativa" (Springer).

EDITAR

$i$$i$$\sigma$$\sigma$$n$$\sigma$$n$$\sigma$

Mas será que realmente precisamos da lei forte de grandes números? De acordo com uma resposta aqui , talvez não.

$n$$n$

$\sigma$

$\sigma$

$\sigma$$A \cup B$$(A\cup B)\cap C$

O primeiro axioma é esse ∅, 𝑋∈𝜎. Bem, você SEMPRE sabe a probabilidade de nada acontecer (0) ou algo acontecer (1).

O segundo axioma é fechado sob complementos. Deixe-me dar um exemplo estúpido. Mais uma vez, considere um lançamento de moeda, com 𝑋 = {𝐻, 𝑇}. Finja que eu lhe digo que a ebra álgebra para esse flip é {∅, 𝑋, {𝐻}}. Ou seja, eu sei a probabilidade de NADA acontecer, de ALGO acontecer e de uma cabeça, mas NÃO conheço a probabilidade de uma coroa. Você poderia me chamar de idiota. Porque se você conhece a probabilidade de uma cara, você automaticamente conhece a probabilidade de uma coroa! Se você conhece a probabilidade de algo acontecer, sabe a probabilidade de NÃO acontecer (o complemento)!

O último axioma é fechado sob uniões contáveis. Deixe-me dar outro exemplo estúpido. Considere o lançamento de um dado, ou 𝑋 = {1,2,3,4,5,6}. E se eu dissesse a 𝜎 álgebra para isso é {∅, 𝑋, {1}, {2}}. Ou seja, eu sei a probabilidade de rolar um 1 ou rolar um 2, mas não sei a probabilidade de rolar um 1 ou um 2. Novamente, você poderia me chamar de idiota (espero que o motivo seja claro). O que acontece quando os conjuntos não são desarticulados e o que acontece com incontáveis ​​sindicatos é um pouco mais confuso, mas espero que você possa tentar pensar em alguns exemplos.

$\sigma$

Bem, não é um caso totalmente limpo, mas existem algumas razões sólidas para isso .

Por que os probabilistas precisam de medidas?

$\sigma$$\sigma$$P$

As pessoas trazem o conjunto de Vitali e Banach-Tarski para explicar por que você precisa da teoria da medida, mas acho que isso é enganoso . O conjunto de Vitali desaparece apenas para medidas (não triviais) invariantes à tradução, que os espaços de probabilidade não exigem. E Banach-Tarski requer invariância à rotação. As pessoas de análise se preocupam com elas, mas os probabilistas realmente não .

A razão de ser da teoria da medida na teoria das probabilidades é unificar o tratamento de RVs discretos e contínuos e, além disso, permitir RVs misturados e RVs que simplesmente não são.