Qual é a distribuição da soma das variáveis gaussianas não iid?

Se $X$ é distribuído $N(\mu_X, \sigma^2_X)$ , $Y$ é distribuído $N(\mu_Y, \sigma^2_Y)$ e $Z = X + Y$ , eu sei que $Z$ é distribuído $N(\mu_X + \mu_Y, \sigma^2_X + \sigma^2_Y)$ se X e Y forem independentes.

Mas o que aconteceria se X e Y não fossem independentes, ou seja, $(X, Y) \approx N\big( (\begin{smallmatrix} \mu_X\\\mu_Y \end{smallmatrix}) , (\begin{smallmatrix} \sigma^2_X && \sigma_{X,Y}\\ \sigma_{X,Y} && \sigma^2_Y \end{smallmatrix}) \big)$

Isso afetaria como a soma $Z$ é distribuída?

normal-distribution mathematical-statistics

— JCWong
fonte

Gostaria apenas de salientar que existem todos os tipos de distribuições conjuntas para

exceto a normal bivariada, que ainda possuem

marginalmente normais. E essa distinção faria uma enorme diferença nas respostas.

(X, Y)

$(X,Y)$

X

$X$

Y

$Y$

@ G.JayKerns Concordo que se

são normais, mas não necessariamente normais em conjunto, então

pode ter uma distribuição diferente da normal. Mas a afirmação do OP de que "

é distribuído

são independentes". está absolutamente correto. Se

X

$X$

Y

$Y$

X + Y

$X+Y$

Z

$Z$

N (μ_{x} + μ_{y}, σ_{x}^{2} + σ_{y}^{2})

$N(\mu_x + \mu_y, \sigma^2_x + \sigma^2_y)$

X

$X$

Y

$Y$

X

$X$

Y

$Y$ são marginalmente normais (como a primeira parte da frase diz) e independentes (conforme a suposição na segunda parte da frase), então também são conjuntamente normais. Na pergunta do OP , a normalidade da articulação é assumida explicitamente e, portanto, qualquer combinação linear de

é normal.

X

$X$

Y

$Y$

— Dilip Sarwate

@Dilip, deixe-me esclarecer que não há nada errado com a pergunta e não há nada errado com a sua resposta (+1) (ou a probabilidade, também (+1)). Eu estava simplesmente apontando que se

são dependentes, não é necessário que sejam conjuntamente normais e não ficou claro que o OP tenha considerado essa possibilidade. Além disso, receio (embora não tenha passado muito tempo pensando) que, sem outras suposições (como a normalidade das articulações), a questão pode até não ser respondida.

X

$X$

Y

$Y$

Como o @ G.JayKerns menciona, é claro que podemos obter todo tipo de comportamento interessante se considerarmos normais distribuídos marginalmente, mas não em conjunto. Aqui é um exemplo simples: Let

ser padrão normal e

com probabilidade de 1/2 cada, independentemente de

. Vamos

. Então

também é normal normal, mas

é exatamente igual a zero com probabilidade 1/2 e é igual a

com probabilidade 1/2.

X

$X$

ε = \pm 1

$\varepsilon = \pm 1$

X

$X$

Y = ε X

$Y = \varepsilon X$

Y

$Y$

Z = X + Y

$Z = X+Y$

2 X

$2X$

— cardinal

Podemos obter toda uma variedade de comportamentos diferentes considerando a cópula bivariada associada a

através do teorema de Sklar . Se usarmos a cópula gaussiana, obtemos que

são conjuntamente normais e, portanto,

é normalmente distribuído. Se a cópula não é a cópula gaussiana,

ainda são marginalmente distribuídos como normais, mas não são conjuntamente normais e, portanto, a soma não será normalmente distribuída, em geral.

(X, Y)

$(X,Y)$

(X, Y)

$(X,Y)$

Z = X + Y

$Z = X + Y$

X

$X$

Y

$Y$

— cardeal

Respostas:

See my comment on probabilityislogic's answer to this question. Here,

\begin{aligned} X + Y & \sim N (μ_{X} + μ_{Y}, σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2} + 2 σ_{X, Y}) \\ a X + b Y & \sim N (a μ_{X} + b μ_{Y}, a^{2} σ_{X}^{2} + b^{2} σ_{Y}^{2} + 2 a b σ_{X, Y}) \end{aligned}

$\begin{align*} X + Y &\sim N(\mu_X + \mu_Y,\; \sigma_X^2 + \sigma_Y^2 + 2\sigma_{X,Y})\\ aX + bY &\sim N(a\mu_X + b\mu_Y,\; a^2\sigma_X^2 + b^2\sigma_Y^2 + 2ab\sigma_{X,Y}) \end{align*}$ where

σ_{X, Y}

$\sigma_{X,Y}$ is the covariance of

X

$X$ and

Y

$Y$ . Nobody writes the off-diagonal entries in the covariance matrix as

σ_{x y}^{2}

$\sigma_{xy}^2$ as you have done. The off-diagonal entries are covariances which can be negative.

— Dilip Sarwate
fonte

@Kodiologist Thanks! I am surprised that the typos remained unnoticed for more than 4 years.

— Dilip Sarwate

@dilip's answer is sufficient, but I just thought I'd add some details on how you get to the result. We can use the method of characteristic functions. For any $d$ -dimensional multivariate normal distribution $X\sim N_{d}(\mu,\Sigma)$ where $\mu=(\mu_1,\dots,\mu_d)^T$ and $\Sigma_{jk}=cov(X_j,X_k)\;\;j,k=1,\dots,d$ , the characteristic function is given by:

φ_{X} (t) = E [\exp (i t^{T} X)] = \exp (i t^{T} μ - \frac{1}{2} t^{T} Σ t)

$\varphi_{X}({\bf{t}})=E\left[\exp(i{\bf{t}}^TX)\right]=\exp\left(i{\bf{t}}^T\mu-\frac{1}{2}{\bf{t}}^T\Sigma{\bf{t}}\right)$

= \exp (i \sum_{j = 1}^{d} t_{j} μ_{j} - \frac{1}{2} \sum_{j = 1}^{d} \sum_{k = 1}^{d} t_{j} t_{k} Σ_{j k})

$=\exp\left(i\sum_{j=1}^{d}t_j\mu_j-\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{d}\sum_{k=1}^{d}t_jt_k\Sigma_{jk}\right)$

For a one-dimensional normal variable $Y\sim N_1(\mu_Y,\sigma_Y^2)$ we get:

φ_{Y} (t) = \exp (i t μ_{Y} - \frac{1}{2} t^{2} σ_{Y}^{2})

$\varphi_Y(t)=\exp\left(it\mu_Y-\frac{1}{2}t^2\sigma_Y^2\right)$

Now, suppose we define a new random variable $Z={\bf{a}}^TX=\sum_{j=1}^{d}a_jX_j$ . For your case, we have $d=2$ and $a_1=a_2=1$ . The characteristic function for $Z$ is the basically the same as that for $X$ .

φ_{Z} (t) = E [\exp (i t Z)] = E [\exp (i t a^{T} X)] = φ_{X} (t a)

$\varphi_{Z}(t)=E\left[\exp(itZ)\right]=E\left[\exp(it{\bf{a}}^TX)\right]=\varphi_{X}(t{\bf{a}})$

= \exp (i t \sum_{j = 1}^{d} a_{j} μ_{j} - \frac{1}{2} t^{2} \sum_{j = 1}^{d} \sum_{k = 1}^{d} a_{j} a_{k} Σ_{j k})

$=\exp\left(it\sum_{j=1}^{d}a_j\mu_j-\frac{1}{2}t^2\sum_{j=1}^{d}\sum_{k=1}^{d}a_ja_k\Sigma_{jk}\right)$

If we compare this characteristic function with the characteristic function $\varphi_Y(t)$ we see that they are the same, but with $\mu_Y$ being replaced by $\mu_Z=\sum_{j=1}^{d}a_j\mu_j$ and with $\sigma_Y^2$ being replaced by $\sigma^2_Z=\sum_{j=1}^{d}\sum_{k=1}^{d}a_ja_k\Sigma_{jk}$ . Hence because the characteristic function of $Z$ is equivalent to the characteristic function of $Y$ , the distributions must also be equal. Hence $Z$ is normally distributed. We can simplify the expression for the variance by noting that $\Sigma_{jk}=\Sigma_{kj}$ and we get:

σ_{Z}^{2} = \sum_{j = 1}^{d} a_{j}^{2} Σ_{j j} + 2 \sum_{j = 2}^{d} \sum_{k = 1}^{j - 1} a_{j} a_{k} Σ_{j k}

$\sigma^2_Z=\sum_{j=1}^{d}a_j^2\Sigma_{jj}+2\sum_{j=2}^{d}\sum_{k=1}^{j-1}a_ja_k\Sigma_{jk}$

This is also the general formula for the variance of a linear combination of any set of random variables, independent or not, normal or not, where $\Sigma_{jj}=var(X_j)$ and $\Sigma_{jk}=cov(X_j,X_k)$ . Now if we specialise to $d=2$ and $a_1=a_2=1$ , the above formula becomes:

σ_{Z}^{2} = \sum_{j = 1}^{2} (1)^{2} Σ_{j j} + 2 \sum_{j = 2}^{2} \sum_{k = 1}^{j - 1} (1) (1) Σ_{j k} = Σ_{11} + Σ_{22} + 2 Σ_{21}

$\sigma^2_Z=\sum_{j=1}^{2}(1)^2\Sigma_{jj}+2\sum_{j=2}^{2}\sum_{k=1}^{j-1}(1)(1)\Sigma_{jk}=\Sigma_{11}+\Sigma_{22}+2\Sigma_{21}$

— probabilityislogic
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+1 Thanks for taking the time to write out the details. Can this question be made part of the FAQ?

— Dilip Sarwate

Qual é a distribuição da soma das variáveis ​​gaussianas não iid?

Qual é a distribuição da soma das variáveis gaussianas não iid?