Prove a relação entre a distância e a alavancagem de Mahalanobis?

Eu já vi fórmulas na Wikipedia. que relacionam a distância e a alavancagem de Mahalanobis:

A distância de Mahalanobis está intimamente relacionada à estatística de alavancagem, $h$ , mas tem uma escala diferente:

$$D^2 = (N - 1)(h - \tfrac{1}{N}).$$

Em um artigo vinculado , a Wikipedia descreve $h$ nestes termos:

No modelo de regressão linear, a pontuação de alavancagem para a $i^{th}$ unidade de dados é definida como:

$$h_{ii}=(H)_{ii},$$ o $i^{th}$ elemento diagonal da matriz do chapéu $H=X(X^{\top}X)^{-1}X^{\top}$ , onde ⊤ denota a transposição da matriz.$^{\top}$

Não consigo encontrar uma prova em lugar nenhum. Tentei começar pelas definições, mas não posso fazer nenhum progresso. Alguém pode dar alguma dica?

Minha descrição da distância de Mahalanobis na parte inferior à parte superior da explicação da distância de Mahalanobis? inclui dois resultados principais:

1. Por definição, não muda quando os regressores são deslocados uniformemente.

2. O quadrado de Mahalanobis distância entre vectores de $x$ e $y$ é dada por

   $$D^2(x,y) = (x-y)^\prime \Sigma^{-1}(x-y)$$ onde $\Sigma$ é a covariância dos dados.

(1) nos permite assumir que as médias dos regressores são todas nulas. Resta calcular $h_i$ . No entanto, para que a afirmação seja verdadeira, precisamos adicionar mais uma suposição:

O modelo deve incluir uma interceptação.

Permitindo a este, que haja $k \ge 0$ regressores e $n$ de dados, escrevendo o valor do regressor $j$ para observação $i$ como $x_{ij}$ . Seja escrito o vetor da coluna desses $n$ valores para o regressor $j$$\mathbf{x}_{,j}$ e o vetor de linha desses $k$ valores para a observação $i$ seja $\mathbf{x}_i$ . Então a matriz do modelo é

$$X = \pmatrix{ 1 &x_{11} &\cdots &x_{1k} \\ 1 &x_{21} &\cdots &x_{2k} \\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\ 1 &x_{n1} &\cdots &x_{nk}}$$

e, por definição, a matriz hat é

$$H = X(X^\prime X)^{-1} X^\prime,$$

de onde a entrada $i$ na diagonal é

$$h_i = h_{ii} = (1; \mathbf{x}_i) (X^\prime X)^{-1} (1; \mathbf{x}_i)^\prime.\tag{1}$$

Não há nada a não ser descobrir a matriz central inversa - mas em virtude do primeiro resultado-chave, é fácil, especialmente quando a escrevemos na forma de matriz de bloco:

$$X^\prime X = n\pmatrix{1 & \mathbf{0}^\prime \\ \mathbf{0} & C}$$

onde $\mathbf{0} = (0,0,\ldots,0)^\prime$ e

$$C_{jk} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_{ij} x_{ik} = \frac{n-1}{n}\operatorname{Cov}(\mathbf{x}_j, \mathbf{x}_k) = \frac{n-1}{n}\Sigma_{jk}.$$

(Eu escrevi $\Sigma$ para a matriz de covariância de amostra dos regressores.) Como essa é a diagonal do bloco, seu inverso pode ser encontrado simplesmente invertendo os blocos:

$$(X^\prime X)^{-1} = \frac{1}{n}\pmatrix{1 & \mathbf{0}^\prime \\ \mathbf{0} & C^{-1}} = \pmatrix{\frac{1}{n} & \mathbf{0}^\prime \\ \mathbf{0} & \frac{1}{n-1}\Sigma^{-1}}.$$

Da definição $(1)$ we obtain

$$\eqalign{ h_i &= (1; \mathbf{x}_i) \pmatrix{\frac{1}{n} & \mathbf{0}^\prime \\ \mathbf{0} & \frac{1}{n-1}\Sigma^{-1}}(1; \mathbf{x}_i)^\prime \\ &=\frac{1}{n} + \frac{1}{n-1}\mathbf{x}_i \Sigma^{-1}\mathbf{x}_i^\prime \\ &=\frac{1}{n} + \frac{1}{n-1} D^2(\mathbf{x}_i, \mathbf{0}). }$$

Solving for the squared Mahalanobis length $D_i^2 = D^2(\mathbf{x}_i, \mathbf{0})$ yields

$$D_i^2 = (n-1)\left(h_i - \frac{1}{n}\right),$$

QED.

Looking back, we may trace the additive term $1/n$ to the presence of an intercept, which introduced the column of ones into the model matrix $X$. The multiplicative term $n-1$ appeared after assuming the Mahalanobis distance would be computed using the sample covariance estimate (which divides the sums of squares and products by $n-1$) rather than the covariance matrix of the data (which divides the sum of squares and products by $n$).

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The chief value of this analysis is to impart a geometric interpretation to the leverage, which measures how much a unit change in the response at observation $i$ will change the fitted value at that observation: high-leverage observations are at large Mahalanobis distances from the centroid of the regressors, exactly as a mechanically efficient lever operates at a large distance from its fulcrum.

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R code to show that the relation indeed holds:

x <- mtcars

# Compute Mahalanobis distances
h <- hat(x, intercept = TRUE); names(h) <- rownames(mtcars)
M <- mahalanobis(x, colMeans(x), cov(x))

# Compute D^2 of the question
n <- nrow(x); D2 <- (n-1)*(h - 1/n)

# Compare.
all.equal(M, D2)               # TRUE
print(signif(cbind(M, D2), 3))