Um nome para esta condição de distribuição?

Eu me deparei com uma condição necessária em uma distribuição de probabilidade contínua definida sobre e me pergunto se ela tem um nome. Para uma distribuição com CDF e pdf , preciso que a quantidade: seja monotonicamente não crescente. Colocando a condição em outra forma (usando derivadas), o requisito é que, para todos os tais que : $[0, \infty]$$F$$f$

$$\phi(x) \equiv \frac{f(x)}{F(x)+xf(x)}$$ $x \in [0,\infty]$$f'(x) > 0$ $$f(x) \geq \sqrt{\frac{F(x) f'(x)}{2}}$$

Parece ser uma propriedade geralmente satisfeita, então tem um nome? Está relacionado a, mas distinto de uma condição de taxa de risco monótono.

Essa é quase a condição para a função de distribuição cumulativa ser côncava em log , o que é uma propriedade muito útil para muitas aplicações. Mas quase .

Uma função $F(x)$ é côncavo se

$$\frac {\partial^2 \ln F(x)}{\partial x^2} \le 0 \Rightarrow F''(x)F(x) - \left[F'(x)\right]^2 \le 0$$

Escreva em termos de$\phi(x)$$F(x)$

$$\phi(x) \equiv \frac{F'(x)}{F(x)+xF'(x)}$$

e nós queremos

$$\frac {\partial \phi(x)}{\partial x} \le 0 \Rightarrow F''(x)\Big(F(x)+xF'(x)\Big)-F'(x)\Big(F'(x)+F'(x) +xF''(x)\Big) \le 0$$

$$\Rightarrow F''(x)F(x)-2\left[F'(x)\right]^2 \le 0$$

... o que não é suficiente para concavidade de log, devido à existência do fator . $2$

Suponha que a condição seja satisfeita. Se dividirmos por e reorganizar, obtemos$[F(x)]^2$

$$\frac {\partial \phi(x)}{\partial x} \le 0 \Rightarrow \frac {\partial^2 \ln F(x)}{\partial x^2} \le \left( \frac{F'(x)}{F(x)}\right)^2 = \left(\frac {\partial \ln F(x)}{\partial x}\right)^2$$