Essa distribuição tem um nome?

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Hoje me ocorreu que a distribuição poderia ser vista como um compromisso entre os gaussianos e Laplace distribuições, para eEssa distribuição tem um nome? E tem uma expressão para sua constante de normalização? O cálculo me impressiona, porque eu nem sei como começar a resolver na integral

f (x) \propto \exp (- \frac{| x - μ |^{p}}{β})

$f(x)\propto\exp\left(-\frac{|x-\mu|^p}{\beta}\right)$

x \in R, p \in [1, 2]

$x\in\mathbb{R}, p\in[1,2]$

β > 0.

$\beta>0.$

C

$C$

1 = C \cdot \int_{- \infty}^{\infty} \exp (- \frac{| x - μ |^{p}}{β}) d x

$1=C\cdot \int_{-\infty}^\infty \exp\left(-\frac{|x-\mu|^p}{\beta}\right) dx$

— Sycorax diz restabelecer Monica
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Resposta curta

O pdf que você descreve é mais apropriadamente conhecido como distribuição Subbotin ... veja o artigo de 1923 da Subbotin que tem exatamente a mesma forma funcional, digamos $Y = X-\mu$ .

Subbotin, MT (1923), Sobre a lei da frequência do erro, Matematicheskii Sbornik, 31, 296-301.

quem entra no pdf em sua equação 5, da forma:

f (y) = K \exp [- {(\frac{| y |}{σ})}^{p}]

$f(y) = K \exp\left[-\left(\frac{|y|}{\sigma}\right)^p\right]$

com constante de integração: $K = \large\frac{p}{2 \sigma \Gamma \left(\frac{1}{p}\right)}$ , conforme a derivação de Xian em que $\beta = \sigma^p$

Resposta mais longa

Infelizmente, a Wikipedia nem sempre está "atualizada" ou precisa, ou às vezes apenas 80 anos atrás. Após Subbotin (1923), a distribuição tem sido amplamente utilizada na literatura, incluindo:

Diananda, PH (1949), Nota sobre algumas propriedades de estimativas de máxima verossimilhança, Proceedings of Cambridge Philosophical Society, 45, 536-544.
Turner, ME (1960), Sobre métodos de estimativa heurística, Biometrics, 16 (2), 299-301.
Zeckhauser, R. e Thompson, M. (1970), regressão linear com termos de erro não normais, The Review of Economics and Statistics, 52, 280-286.
McDonald, JB e Newey, WK (1988), Estimativa parcialmente adaptativa de modelos de regressão via distribuição t generalizada, Econometric Theory, 4, 428-457.
Johnson, NL, Kotz, S. e Balakrishnan, N. (1995), Continuous Univariate Distributions, volume 2, 2ª edição, Wiley: New York (1995, p.422)
Mineo, AM e Ruggieri, M. (2005), uma ferramenta de software para a distribuição de potência exponencial: o pacote normalp, Journal of Statistical Software, 12 (4), 1-21.

... tudo antes do trabalho mencionado no Wiki. Além de estar 80 anos desatualizado, o nome usado no Wiki 'a Normal Generalizado' também parece inadequado porque há uma infinidade de distribuições que são generalizações do Normal, e o nome é, de qualquer forma, ambíguo à literatura. Também não reconhece o autor original.

— wolfies
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Por razões óbvias, você pode se livrar de μ e β, de modo que tudo o que resta é Daí

\int_{0}^{\infty} \exp {- x^{p}} d x \overset{y = x^{p}}{=} \int_{0}^{\infty} \exp {- y} | \frac{d x}{d y} | d y \overset{x = y^{1 / p}}{=} \int_{0}^{\infty} \exp {- y} \frac{1}{p} y^{\frac{1}{p} - 1} d y = Γ (1 / p) \frac{1}{p}

$\int_0^\infty \exp\{−x^p\}\text{d}x\stackrel{y=x^p}{=}\int_0^\infty \exp\{−y\}\left|\dfrac{\text{d}x}{\text{d}y}\right|\text{d}y\stackrel{x=y^{1/p}}{=}\int_0^\infty \exp\{−y\}\frac{1}{p}y^{\frac{1}{p}-1}\text{d}y=\Gamma(1/p)\frac{1}{p}$

\int_{- \infty}^{\infty} \exp {- β^{- 1} | x - μ |^{p}} d x = \frac{2 Γ (1 / p)}{p} β^{1 / p}

$\int_{-\infty}^\infty \exp\{−\beta^{-1}|x-\mu|^p\}\text{d}x=\dfrac{2\Gamma(1/p)}{p}\beta^{1/p}$

— Xi'an
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D'oh. Claro. E por acaso você sabe se ele tem um nome?

— Sycorax diz Restabelecer Monica

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Está um pouco conectado com as [distribuições Weibull e Fréchet] ( en.wikipedia.org/wiki/… ), no entanto, essas têm um termo de poder diante do exponencial. Portanto, é mais uma distribuição gaussiana para outra métrica que a distância quadrática.

— Xi'an

1

+1 Não seria errado chamar isso de distribuição "power Gamma".

— whuber

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Segundo a Wikipedia, isso é conhecido como distribuição normal generalizada (versão 1 no artigo), e a restrição não é necessária, mas qualquer valor positivo é bom. $p\in [1,2]$

A referência dada na Wikipedia é Saralees Nadarajah (2005) Uma distribuição normal generalizada , Journal of Applied Statistics, 32: 7, 685-694, DOI: 10.1080 / 02664760500079464. Este artigo menciona que a constante de normalização é encontrada por "integração simples" - presumo que seja a seguir à resposta de Xi'an.

— Juho Kokkala
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