Ligação entre variação e distâncias aos pares dentro de uma variável

Por favor, prove que se tivermos duas variáveis (tamanho igual da amostra) $X$ e $Y$ e a variação em $X$ for maior que em $Y$ , a soma das diferenças ao quadrado (ou seja, distâncias euclidianas ao quadrado) entre os pontos de dados em $X$ também será maior que que dentro de $Y$ .

variance distance

— ttnphns
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Esclareça: Quando você diz variação , você quer dizer variação de amostra ? Quando você diz soma das diferenças ao quadrado , você quer dizer

\sum_{i, j} (x_{i} - x_{j})^{2}

$\sum_{i,j} (x_i - x_j)^2$

— cardinal

Assumindo que o que precede:

contabilizando cuidadosamente os elementos no termo cruzado. Eu imagino que você pode preencher as (pequenas lacunas). O resultado então segue trivialmente.

\sum_{i, j} (x_{i} - x_{j})^{2} = \sum_{i \neq j} ((x_{i} - \bar{x}) - (x_{j} - \bar{x}))^{2} = 2 n \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2},

$\sum_{i,j} (x_i - x_j)^2 = \sum_{i \neq j} ((x_i - \bar{x}) - (x_j - \bar{x}))^2 = 2 n \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 \> ,$

— cardinal

Também existe uma maneira de fazer isso "sem" qualquer cálculo, considerando o fato de que se

são iid de

(com uma variação bem definida), então

. Porém, exige uma compreensão um pouco mais firme dos conceitos de probabilidade.

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

F

$F$

E (X_{1} - X_{2})^{2} = 2 V a r (X_{1})

$\mathbb E (X_1 - X_2)^2 = 2 \mathrm{Var}(X_1)$

— cardinal

Para uma pergunta relacionada, usei uma visualização do que está acontecendo aqui em uma resposta em stats.stackexchange.com/a/18200 : as diferenças ao quadrado são áreas dos quadrados.

— whuber

@ whuber: Muito bom. De alguma forma, eu tinha perdido essa resposta ao longo do caminho.

— cardeal

Apenas para fornecer uma resposta "oficial", para complementar as soluções esboçadas nos comentários, observe

Nenhuma de , , ou são alteradas deslocando todos os uniformemente para para alguma constante ou deslocando todo $\operatorname{Var} ((X_i))$ $\operatorname{Var} ((Y_i))$ $\sum_{i,j}(X_i-X_j)^2$ $\sum_{i,j} (Y_i-Y_j)^2$ $X_i$ $X_i-\mu$ $\mu$ a por alguma constante . Assim, podemos assumir que tais mudanças foram realizadas para fazer , de onde e . $Y_i$ $Y_i-\nu$ $\nu$ $\sum X_i = \sum Y_i = 0$ $\operatorname{Var}((X_i)) = \sum X_i^2$ $\operatorname{Var}((Y_i)) = \sum Y_i^2$
Depois de limpar factores comuns a partir de cada lado e utilizando (1), a questão pretende mostrar que implica . $\sum X_i^2 \ge \sum Y_i^2$ $\sum_{i,j} (X_i-X_j)^2 \ge \sum_{i,j} (Y_i-Y_j)^2$
A expansão simples dos quadrados e a reorganização das somas dão com um resultado semelhante para os 's.
$\sum_{i, j} (X_{i} - X_{j})^{2} = 2 \sum X_{i}^{2} - 2 (\sum X_{i}) (\sum X_{j}) = 2 \sum X_{i}^{2} = 2 Var ((X_{i}))$ $\sum_{i,j}(X_i-X_j)^2 = 2\sum X_i^2 - 2\left(\sum X_i\right)\left(\sum X_j\right) = 2\sum X_i^2 = 2\operatorname{Var}((X_i))$ $Y$

A prova é imediata.

— whuber
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