Como podemos simular a partir de uma mistura geométrica?

Se $f_1,\ldots,f_k$ são densidades conhecidas das quais posso simular, ou seja, para as quais um algoritmo está disponível. e se o produto

\prod_{i = 1}^{k} f_{i} (x)^{α_{i}} α_{1}, \dots, α_{k} > 0

$\prod_{i=1}^k f_i(x)^{\alpha_i}\qquad \alpha_1,\ldots,\alpha_k>0$ é integrável, existe uma abordagem genérica para simular a partir dessa densidade de produto usando os simuladores dos

f_{i}

$f_i$ 's?

— Xi'an
fonte

Sem suposições adicionais, isso parece improvável. (Let

para simplicidade Let.

ser pequeno Suponha-se que associada a cada um.

é um intervalo de

em que

, fora do qual

, e

α_{i} = 1

$\alpha_i=1$

ϵ > 0

$\epsilon\gt 0$

f_{i}

$f_i$

I_{i}

$I_i$

f_{i} \leq 1

$f_i\le 1$

\underset{i}{Pr} (I_{i}) > 1 - ϵ

$\Pr_i(I_i)\gt 1-\epsilon$

0 < f_{i} < ϵ

$0\lt f_i\lt \epsilon$

I_{i} \cap I_{j} = \emptyset

$I_i\cap I_j=\emptyset$ para

i \neq j

$i\ne j$ . Em seguida, os geradores separados quase sempre produzir valores em

, mas a probabilidade de

poderia ser concentrada em qualquer lugar, aparentemente sem relação com a

.) Então, o que mais você pode nos dizer sobre o

I_{i}

$I_i$

\prod f_{i}

$\prod f_i$

I_{i}

$I_i$

f_{i}

$f_i$

— whuber

(+10) Correto! Usando um menor

iria, contudo, levar a achatar todos os elementos e, portanto, favorecer a sobreposição de seus suportes eficazes ...

α_{i}

$\alpha_i$

— Xi'an

Como o whuber disse que o aperto será um problema, eu faria uma transformação (OU amostragem preferencial) para cancelar o aperto antes de gerar amostras aleatórias. Há uma abordagem construtiva que acho que li há um tempo atrás. Seção 10.7 de link.springer.com/chapter/10.1007/978-1-4612-0209-7_10 Não tenho certeza se a discretização também pode ser aplicada aqui.

— Henry.L

Bem, é claro que existe o algoritmo de aceitação-rejeição, que eu implementaria para o seu exemplo como:

(Inicialização) Para cada , encontre $i$ . Edite refletindo o comentário de Xi'an abaixo: Selecione a distribuição que corresponde ao menor $A_i = \sup_x \{\Pi_{j=1}^k f_j(x)^{\alpha_j}/f_i(x)\}$ $f_i$ $A_i$ .
Gere de $x$ $f_i$ .
Calcule . $\alpha = \Pi_{i=j}^k f_j(x)^{\alpha_j} / (A_if_i(x))$
Gere . $u \sim U(0,1)$
Se , retorne , então vá para 2. $u \leq \alpha$ $x$

Dependendo das distribuições, é claro, você pode ter uma taxa de aceitação muito baixa. Quando isso acontece, o número esperado de iterações é igual ao selecionado (assumindo distribuições contínuas), então pelo menos você será avisado com antecedência. $A_i$

— jbowman
fonte

A_{i}

$A_i$

i

$i$

i

$i$

A_{i}

$A_i$

f_{i}

$f_i$

A_{i}

$A_i$

i

$i$

A_{i}

$A_i$

f_{i}

$f_i$