No CLT, por que

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Deixe- $X_1,...,X_n$ são observações independentes de uma distribuição que tem a média $\mu$ e a variância $\sigma^2 < \infty$ , quando $n \rightarrow \infty$ , então

\sqrt{n} \frac{{\bar{X}}_{n} - μ}{σ} \to N (0, 1) .

$\sqrt{n}\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma} \rightarrow N(0,1).$

Por que isso implica que

{\bar{X}}_{n} \sim N (μ, \frac{σ^{2}}{n}) ?

$\bar{X}_n \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)?$

probability central-limit-theorem

— mavavilj
fonte

Talvez isso não tenha sido enfatizado claramente o suficiente abaixo, mas a afirmação

é matematicamente significativo e verdadeiro enquanto a afirmação

\sqrt{n} \frac{{\bar{X}}_{n} - μ}{σ} \to N (0, 1)

$\sqrt{n}\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma} \rightarrow N(0,1)$

é matematicamente absurdo, portanto, como diz o ditado,nem mesmo errado.

{\bar{X}}_{n} \sim N (μ, \frac{σ^{2}}{n})

$\bar{X}_n \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$

— Será que

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Sua interpretação está um pouco incorreta. O Teorema Central do Limite (CLT) implica que

{\bar{X}}_{n} \overset{approx}{\sim} N (μ, \frac{σ^{2}}{n}) .

$\bar{X}_n \overset{\mbox{approx}}{\sim} N \left(\mu, \frac{\sigma^2}{n} \right).$

Isso ocorre porque o CLT é um resultado assintótico e, na prática, estamos lidando apenas com amostras finitas. No entanto, quando o tamanho da amostra é grande o suficiente, assumimos que o resultado do CLT é verdadeiro na aproximação e, portanto,

\begin{aligned} \sqrt{n} \frac{{\bar{X}}_{n} - μ}{σ} & \overset{approx}{\sim} N (0, 1) \\ \sqrt{n} \frac{{\bar{X}}_{n} - μ}{σ} . \frac{σ}{\sqrt{n}} & \overset{approx}{\sim} \frac{σ}{\sqrt{n}} N (0, 1) \\ {\bar{X}}_{n} - μ & \overset{approx}{\sim} N (0, \frac{σ^{2}}{n}) \\ {\bar{X}}_{n} - μ + μ & \overset{approx}{\sim} μ + N (0, \frac{σ^{2}}{n}) \\ {\bar{X}}_{n} & \overset{approx}{\sim} N (μ, \frac{σ^{2}}{n}) . \end{aligned}

$\begin{align*} \sqrt{n} \dfrac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma} &\overset{\mbox{approx}}{\sim} N(0, 1)\\ \sqrt{n} \dfrac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma} . \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} &\overset{\mbox{approx}}{\sim} \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} N \left( 0, 1 \right)\\ {\bar{X}_n - \mu} &\overset{\mbox{approx}}{\sim} N \left(0, \dfrac{\sigma^2}{n}\right)\\ \bar{X}_n - \mu + \mu & \overset{\mbox{approx}}{\sim}\mu + N \left(0, \frac{\sigma^2}{n} \right)\\ \bar{X}_n & \overset{\mbox{approx}}{\sim} N \left(\mu, \frac{\sigma^2}{n} \right).\\ \end{align*}$

Isso ocorre porque para uma variável aleatória e constantes , (usada na segunda etapa) e , (usado no segundo último passo). $X$ $a,b$ $\operatorname{Var}(aX) = a^2 \operatorname{Var}(X)$ $E(b + X) = b + E(X)$ $\operatorname{Var}(b + X) = \operatorname{Var}(X)$

Leia isso para obter mais explicações sobre a álgebra.

— Greenparker
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Você poderia esclarecer qual "álgebra" você está usando ao levar os termos do LHS de

para o RHS?

\sim

$\sim$

— mavavilj

Eu esclareci a álgebra. A maior parte está usando propriedades de variação e expectativa.

— Greenparker

Por que não, por exemplo, o segundo termo de

tornam-se

N (μ, \frac{σ^{2}}{n})

$N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$

?

N (μ, μ + \frac{σ^{2}}{n})

$N(\mu, \mu+\frac{\sigma^2}{n})$

— mavavilj

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Porque

. Intuitivamente, adicionar um número constante a uma variável aleatória não altera sua variação.

V a r (a X + b) = a^{2} V a r (X)

$Var(aX + b) = a^2 Var(X)$

— Greenparker

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A maneira mais fácil de ver isso é observando a média e a variação da variável aleatória . $\bar X_n$

Então, $\mathcal{N}(0,1)$ afirma que a média é zero e a variação é uma. Portanto, temos como média:

Usando, ondesão constantes, obtém-se:

E [\sqrt{n} \frac{{\bar{X}}_{n} - μ}{σ}] \approx 0 0

$E\left[\sqrt{n}\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma}\right]\approx 0$

E [a \cdot x + b] = a \cdot E [x] + b

$E[a\cdot x+b]=a\cdot E[x]+b$

a, b

$a,b$

{\bar{X}}_{n} \approx μ

$\bar{X}_n\approx\mu$

Agora, usando , onde $\operatorname{Var}[a\cdot x+b]=a^2\cdot \operatorname{Var}[x]=a^2\cdot \sigma_x^2$ $a,b$ são constantes, obtemos o seguinte para a variação:

Var [\sqrt{n} \frac{{\bar{X}}_{n} - μ}{σ}] \approx 1 1

$\operatorname{Var}\left[\sqrt{n}\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma}\right]\approx 1$

Var [{\bar{X}}_{n}] \approx \frac{σ^{2}}{n}

$\operatorname{Var}\left[\bar{X}_n\right]\approx \frac{\sigma^2}{n}$

$\bar X_n$ $\mathcal{N}(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$

$\rightarrow$ $\mathcal{N}(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$ $n$ $\mathcal{N}(0,1)$

— Aksakal
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$\bar{X}_n$ $\sqrt{n} (\bar{X}_n - \mu) / \sigma$ $\tau Z + \mu \sim$ $(\mu, \tau^2)$ $Z \sim$ $(0, 1)$

\begin{aligned} M_{τ Z + μ} (t) & = M_{Z} (τ t) M_{μ} (t) \\ = e^{t^{2} τ^{2} / 2} e^{t μ} \\ = e^{t^{2} τ^{2} / 2 + t μ} \end{aligned}

$\begin{align} M_{\tau Z + \mu}(t) &= M_Z(\tau t) M_\mu (t) \\ &= e^{t^2 \tau^2 / 2} e^{t \mu} \\ &= e^{t^2 \tau^2 / 2 + t \mu} \end{align}$

$(\mu, \tau^2)$

— dsaxton
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Por que a função de geração de momento prova isso para a distribuição?

— mavavilj

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Isso é resultado da probabilidade. Se duas variáveis aleatórias têm a mesma função geradora de momento, elas são iguais em distribuição.

— dsaxton