Um nome para produto cruzado dependente de operador

Suponha que tenhamos matriz . Diferentes transformações usando diferentes operadores em colunas podem levar a uma nova matriz simétrica . Por exemplo, a matriz de covariância pode ser calculada usando o operador de produto escalar , em que cada valor da matriz de covariância é o produto escalar de duas colunas da matriz original (dividido por ) : $\\n\times p$ $\mathbf{M}$ $\\p\times p$ $\mathbf{S}$ $\mathbf{C}$ $\mathbf{M}$ $n-1$

$\mathbf{C} = { 1 \over {n-1} } \mathbf{M}^{T} \cdot \mathbf{M}$

Da mesma forma, a matriz de correlação pode ser definida por que e são colunas de e é uma medida de correlação como o coeficiente produto-momento de Pearson . Nesse caso, o operador é o coeficiente de correlação bivariado. $\mathbf{P}$ $\mathbf{P}_{ij} = \mathrm{corr}(C_i,C_j)$ $\mathbf{C}_i$ $\mathbf{C}_j$ $\mathbf{C}$ $\mathrm{corr}$

Essa transformação dependente de operador tem um nome?

correlation terminology covariance-matrix

— Ismael Ghalimi
fonte

Nesta resposta , descrevi como todas essas matrizes são as modificações da X'Xmatriz do SSCP . Para um interesse acadêmico adicional: Zegers, dez Berge (Psychometrica, 1985) unem os coeficientes da fórmula geral 4: coeficiente de identidade, coeficiente de aditividade (baseado no coeficiente de covariância), cosseno, correlação de Pearson.

— ttnphns

Eu não recomendaria acreditar no artigo da Wikipedia sobre "Matriz Gramiana". Na verdade, "Gramian" significa coisas diferentes. Por exemplo, na literatura de análise fatorial, essa palavra é longa (desde 1930) usada como sinônimo de "matriz quadrada semidefinida positiva". Em muitas fontes, "Gram matrix" não é o mesmo que "Gramian matrix" e assim por diante.

— ttnphns

Alguns sistemas de computação orientada a vetores, como APL e Mathematica , possuem generalizações internas desse tipo. Consulte reference.wolfram.com/language/ref/Inner.html, por exemplo.

— whuber

Ismael: Se você precisar de um rótulo para X'Xmatriz - existem muitos sinônimos ou equivalentes, provenientes de pessoas de diferentes campos e formações. A análise de dados estatísticos multivariada é um dos ramos mais antigos. Lá é chamada matriz de soma de quadrados e produtos cruzados ou simplesmente matriz de produtos cruzados. Não recomendo muito o uso das palavras Gramian ou Gram devido às razões apontadas no meu comentário acima.

— ttnphns

@ttnphns Acho que a pergunta de Ismael é mais ampla, ele quer um nome para qualquer

f (X_{i}, X_{j})

$f(X_i, X_j)$ matriz onde

f ()

$f()$ pode ser qualquer função (talvez apenas simétrica?) (e

X_{i}

$X_i$ são colunas de

X

$X$ ); por exemplo, um

p \times p

$p\times p$ matriz de informações mútuas entre variáveis ou um

p \times p

$p\times p$ matriz de covariâncias de distância entre eles, de qualquer que seja. Ismael, eu entendi corretamente? Nesse caso, acho que não há um nome geral para isso.

— ameba

Meu entendimento da pergunta é que ela pede um nome para qualquer $p\times p$ matriz $\mathbf F$ com elementos $F_{ij} = f(\mathbf X_i, \mathbf X_j)$ , Onde $\mathbf X_k$ são colunas de um $n\times p$ Matriz de dados $\mathbf X$ e $f(\cdot, \cdot)$ é alguma função arbitrária.

Isso pode ser visto como uma generalização da matriz de covariância (se $f$ é covariância), matriz de correlação (se $f$ é a correlação), matriz de soma de quadrados e produtos cruzados (se $f$ é um produto escalar) etc.

Observe que, mesmo que $f$ é simétrica e "sensível", a matriz resultante $\mathbf F$ pode deixar de ser positivo-definido. Este é o caso, por exemplo, quando $f$ é informação mútua ( como indicado no título deste artigo ).

Duvido que exista um termo genérico para $\mathbf F$ . Se você realmente precisa ter um nome para ele, acho que deveria inventar um. Se seu $f$ deve medir alguma relação entre variáveis $i$ e $j$ , aí talvez $\mathbf F$ pode ser chamado de "matriz de relacionamento cruzado" ou simplesmente "matriz de relacionamento"?

— ameba
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Eu acho que você pode usar a linguagem de reprodução de espaços Hilbert do kernel e considerar

F

$\mathbf F$ ser a matriz Gram associada ao kernel

f

$f$ , forneceu

f

$f$ satisfaz as condições padrão.

— cardeal

@ cardinal Eu estava pensando se eu deveria mencionar isso na minha resposta. Mas geralmente a matriz do kernel (matriz Gram) é entendida como

n \times n

$n\times n$ , ou seja, mede os "relacionamentos" (distâncias do kernel) entre as amostras, enquanto aqui o OP considera um

p \times p

$p \times p$ matriz que mede os "relacionamentos" entre as variáveis. Então, imaginei que chamá-lo de matriz kernel / Gram pode ser confuso; O que você acha? (Além disso, pode-se considerar funções que não satisfaçam as condições do kernel, por exemplo, informações aparentemente mútua.)

— ameba

(+1) Embora, em certo sentido, a distinção entre "linhas" e "colunas" possa parecer um pouco superficial, acho que você levanta um ponto muito válido sobre a possível confusão que pode ser causada pela proposta no meu comentário.

— cardeal

Muito obrigado por esclarecer a distinção com matrizes de Gram. Muito útil.

— Ismael Ghalimi 31/03