O que é uma matriz de covariância isotrópica (esférica)?

Alguém poderia me explicar em termos simples o que é uma matriz de covariância isotrópica? Não consigo encontrar nada online.

terminology covariance-matrix definition

— teste
fonte

Uma matriz de covariância é chamada isotrópica , ou esférica , se for proporcional à matriz de identidade: ou seja, é diagonal e todos os elementos na diagonal são iguais. $\mathbf C$

C = λ I,

$\mathbf C = \lambda \mathbf I,$

Esta definição não depende do sistema de coordenadas; se girarmos o sistema de coordenadas com uma matriz de rotação ortogonal , a matriz de covariância se transformará em ou seja, permanecerá o mesmo. $\mathbf V$

V^{⊤} C V = V^{⊤} \cdot λ I \cdot V = V^{⊤} V \cdot λ I = λ I,

$\mathbf V^\top \mathbf C \mathbf V = \mathbf V^\top \cdot \lambda \mathbf I \cdot\mathbf V = \mathbf V^\top \mathbf V \cdot \lambda \mathbf I = \lambda \mathbf I,$

Intuitivamente, a matriz de covariância isotrópica corresponde a uma nuvem de dados "esférica". Uma esfera permanece uma esfera após a rotação.

— ameba
fonte

E se as variáveis puderem ser rotacionadas para chegar à matriz de covariância ?

λ I

$\lambda \mathbf I$

— Aksakal

@Aksakal Ver atualização.

— Ameba 30/03

C

$C$

@whuber Interessante! Não me lembro de que existe uma noção de formas quadráticas "isotrópicas". Mas lendo a definição agora, nenhuma matriz de covariância com pelo menos um valor próprio zero seria "isotrópica" nesse sentido?

— Ameba 30/03

Você está certo - eu especifiquei incorretamente o quantificador. Por definição, uma forma quadrática isotrópica possui pelo menos um vetor isotrópico diferente de zero (em vez de todos os vetores serem isotrópicos).

— whuber

$|x - x'|$

Edit: desculpe, eu li errado, para matriz, a resposta certa é a da ameba.

— microfone
fonte

As perguntas são feitas sobre a matriz de covariância . É claro que uma matriz pode ser vista como uma função, mas acho que isso requer alguma elaboração para o OP.

— Ameba 30/03