Distribuição da distância de Mahalanobis no nível de observação

Se eu tiver uma amostra de amostra normal multivariada $X_1, \ldots, X_n \sim N_p(\mu,\Sigma)$ e definir

d_{i}^{2} (b, A) = (X_{i} - b)^{'} A^{- 1} (X_{i} - b)

$d_i^2(b,A) = (X_i - b)' A^{-1} (X_i - b)$ (que é uma distância de Mahalanobis [ao quadrado] de um ponto de amostra ao vetor

a

$a$ usando a matriz para ponderação),

A

$A$ qual é a distribuição de (distância de Mahalanobis à média da amostra usando a matriz de covariância da amostra )?

d_{i}^{2} (\bar{X}, S)

$d_i^2(\bar X,S)$

\bar{X}

$\bar X$

S

$S$

Estou vendo um artigo que afirma que é , mas isso está obviamente errado: a teria sido obtida para usando o vetor médio da população (desconhecida) e matriz de covariância. Quando os análogos da amostra estão conectados, é necessário obter uma distribuição Hotelling ou uma distribuição escala , ou algo assim, mas não o . Não encontrei o resultado exato nem em Muirhead (2005) , nem em Anderson (2003) , nem em Mardia, Kent e Bibby (1979, 2003). $\chi^2_p$ $\chi^2_p$ $d_i^2(\mu,\Sigma)$ $T^{\ 2}$ $F(\cdot)$ $\chi^2_p$ . Aparentemente, esses caras não se incomodaram com diagnósticos extremos, pois a distribuição normal multivariada é perfeita e é facilmente obtida sempre que se coleta dados multivariados: - /.

As coisas podem ser mais complicadas do que isso. O resultado da distribuição Hotelling é baseado em assumir a independência entre a parte do vetor e a parte da matriz; essa independência vale para e , mas não vale mais para e $T^{\ 2}$ $\bar X$ $S$ $X_i$ . $S$

multivariate-analysis outliers

— StasK
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Na definição de

, você ainda vê

como uma variável aleatória ou agora o está tratando como um vetor fixo? Incluir o subscrito sugere o último, mas isso parece um pouco estranho.

d_{i}^{2}

$d_i^2$

X_{i}

$X_i$

— whuber

Apenas um pouco fora da bainha-conduta nota lateral, mas aviso que

é acessória em relação a

é igual a uma constante fixa (deve ser

, ou similar, eu acho) quase certamente.

X_{i} - \bar{X}

$X_i - \bar{X}$

μ

$\mu$

\sum_{i} d_{i}^{2} (\bar{X}, S)

$\sum_i d_i^2(\bar{X},S)$

n - p

$n-p$

— cardeal

@ whuber - talvez para enfatizar que é calculado usando uma observação da amostra, não uma nova observação?

— jbowman

@whuber, mais ou menos na linha do que jbowman disse - para indicar que esta é uma estatística no nível de observação (em oposição a uma estatística no nível da amostra, como média da amostra).

— Stask

A distribuição de

é um beta,

, mas ainda estou procurando a distribuição de

d_{i}^{2} (\bar{X}, S)

$d_i^2(\bar X,S)$

n / (n - 1)^{2} d_{i}^{2} (\bar{X}, S) \sim B (p / 2, (n - p - 1) / 2)

$n/(n-1)^2 d_i^2(\bar X,S) \sim B(p/2, (n-p-1)/2)$

d_{i}^{2} (μ, S)

$d^2_i(\mu, S)$ . As distribuições dos

's não são independentes.

d_{i}^{2}

$d^2_i$

Respostas:

Confira a Modelagem de Mistura Gaussiana Explorando a Distância Mahalanobis ( link alternativo ). Veja a página 13, Segunda coluna. Os autores também deram algumas provas também para derivar a distribuição. A distribuição é beta escalada. Informe-me se isso não estiver funcionando para você. Caso contrário, eu poderia verificar qualquer dica no livro da SS Wilks amanhã.

— vinux
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A resposta dada no artigo é:

. Obrigado!

\frac{n}{(n - 1)^{2}} d_{i}^{2} (\bar{X}, S) \sim B (\frac{p}{2}, \frac{n - p - 1}{2})

$\frac{n}{(n-1)^2} d_i^2(\bar X, S) \sim B(\frac{p}{2}, \frac{n-p-1}{2} )$

— Stask

Existem 3 distribuições relevantes. Como observado, se os parâmetros populacionais verdadeiros forem usados, a distribuição será qui-quadrado com . Essa também é a distribuição assintótica com parâmetros estimados e grande tamanho de amostra. $df=p$

Outra resposta fornece a distribuição correta para a situação mais comum, com parâmetros estimados quando a própria observação faz parte do conjunto de estimativas: No entanto, se a observaçãofor independente das estimativas de parâmetro, a distribuição será proporcional à distribuição da razão F de Fisher:

\frac{n (d^{2})}{(n - 1)^{2}} \sim B e t a (\frac{p}{2}, \frac{(n - p - 1)}{2}) .

$\frac{n(d^2)}{(n-1)^2} \sim Beta\left(\frac{p}{2}, \frac{(n-p-1)}{2}\right).$

x_{i}

$x_i$

(\frac{n d^{2} (n - p)}{(p (n - 1) (n + 1)}) \sim F (p, n - p)

$\left(\frac{nd^2(n-p)}{(p(n-1)(n+1)}\right) \sim F(p, n-p)$

— Joe Sullivan
fonte

Bem-vindo ao site, @JoeSullivan. Tomei a liberdade de usar

para facilitar a leitura de suas equações. Certifique-se de que eles ainda digam o que você deseja.

L A T E X

$\LaTeX$

— gung - Restabelece Monica

você pode dar uma referência para a fórmula F?

— eyaler

uma referência relacionada, seção 3 em Hardin, Johanna e David M. Rocke. 2005. “The Distribution of Robust Distances.” Jornal de Estatísticas Computacionais e Gráficas 14 (4): 928–46. doi: 10.1198 / 106186005X77685.

— Josef