Como posso (numericamente) aproximar valores de uma distribuição beta com alfa e beta grandes

Existe uma maneira numericamente estável de calcular valores de uma distribuição beta para alfa inteiro grande, beta (por exemplo, alfa, beta> 1000000)?

Na verdade, eu só preciso de um intervalo de confiança de 99% no modo, se isso de alguma forma facilitar o problema.

Acrescentar : desculpe, minha pergunta não foi tão clara quanto pensei. O que eu quero fazer é o seguinte: eu tenho uma máquina que inspeciona produtos em uma correia transportadora. Alguma fração desses produtos é rejeitada pela máquina. Agora, se o operador da máquina alterar alguma configuração de inspeção, quero mostrar a ele a taxa estimada de rejeição e algumas dicas sobre a confiabilidade da estimativa atual.

Portanto, pensei em tratar a taxa de rejeição real como uma variável aleatória X e calcular a distribuição de probabilidade para essa variável aleatória com base no número de objetos rejeitados N e objetos aceitos M. Se eu assumir uma distribuição anterior uniforme para X, essa é uma distribuição beta dependendo de N e M. Eu posso exibir essa distribuição diretamente para o usuário ou encontrar um intervalo [l, r] para que a taxa de rejeição real esteja nesse intervalo com p> = 0,99 (usando a terminologia do shabbychef) e exibir isso intervalo. Para M, N pequeno (ou seja, imediatamente após a alteração do parâmetro), posso calcular a distribuição diretamente e aproximar o intervalo [l, r]. Mas para M, N grande, essa abordagem ingênua leva a erros de sub-fluxo, porque x ^ N * (1-x) ^ M é pequeno demais para ser representado como um flutuador de precisão dupla.

Acho que minha melhor aposta é usar minha distribuição beta ingênua para M, N pequeno e mudar para uma distribuição normal com a mesma média e variação assim que M, N exceder algum limite. Isso faz sentido?

Uma aproximação normal funciona extremamente bem, especialmente nas caudas. Use uma média de e uma variação de α $\alpha/(\alpha+\beta)$ . Por exemplo, o erro relativo absoluto na probabilidade de cauda em uma situação difícil (em que a distorção pode ser preocupante), comoα=106,β=108atingeumpico em torno de0,00026e é menor que0,00006quando você tem mais de 1 SD da média. (Issonãoocorreporque o beta é tão grande: comα=β=106, os erros relativos absolutos são limitados por$\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^{2} (1+\alpha+\beta)}$$\alpha = 10^6, \beta = 10^8$$0.00026$$0.00006$$\alpha = \beta = 10^6$$0.0000001$.) Portanto, essa aproximação é excelente para qualquer finalidade que envolva intervalos de 99%.

À luz das edições da pergunta, observe que não se computa integrais beta integrando o integrando: é claro que você terá subfluxos (embora eles realmente não importem, porque não contribuem significativamente para a integral) . Existem muitas, muitas maneiras de calcular a integral ou aproximar, conforme documentado em Johnson & Kotz (Distribuições em Estatística). Uma calculadora online pode ser encontrada em http://www.danielsoper.com/statcalc/calc37.aspx . Você realmente precisa do inverso dessa integral. Alguns métodos para calcular o inverso estão documentados no site do Mathematica em http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/InverseBetaRegularized/. O código é fornecido em Receitas numéricas (www.nr.com). Uma calculadora on-line realmente interessante é o site da Wolfram Alpha (www.wolframalpha.com): digite inverse beta regularized (.005, 1000000, 1000001)o ponto final esquerdo e inverse beta regularized (.995, 1000000, 1000001)o ponto final direito ( , intervalo de 99%).$\alpha=1000000, \beta=1000001$

Um experimento gráfico rápido sugere que a distribuição beta se parece muito com uma distribuição normal quando alfa e beta são muito grandes. Ao pesquisar no Google "limite de distribuição beta normal", encontrei http://nrich.maths.org/discus/messages/117730/143065.html?1200700623 , que fornece uma 'prova' de navegação manual.

A página da Wikipédia para a distribuição beta fornece sua média, modo (v próximo à média para alfa e beta grande) e variação, para que você possa usar uma distribuição normal com a mesma média e variação para obter uma aproximação. Se é uma aproximação suficientemente boa para seus propósitos, depende de quais são seus propósitos.

$[l,r]$$l$$r$$[l,r]$$\alpha, \beta$ $l$$r$ como números distintos, portanto, essa rota pode ser boa o suficiente.

$p$$p$$log(p/(1-p))$$min(\alpha,\beta) > 100$

Por exemplo

f <- function(n, a, b) {
    p <- rbeta(n, a, b)
    lor <- log(p/(1-p))
    ks.test(lor, 'pnorm', mean(lor), sd(lor))$p.value
}
summary(replicate(50, f(10000, 100, 1000000)))

normalmente produz uma saída como

resumo (replicar (50, f (10000, 100, 1000000))) 1st Qu. Mediana Média 3ª Qu. Máx. 0,01205 0,10870 0,18680 0,24810 0,36170 0,68730

isto é, valores p típicos são de cerca de 0,2.

$\alpha=100, \beta=100000$

$p$

f2 <- function(n, a, b) {
    p <- rbeta(n, a, b)
    ks.test(p, 'pnorm', mean(p), sd(p))$p.value
}
summary(replicate(50, f2(10000, 100, 1000000)))

produz algo como

summary(replicate(50, f2(10000, 100, 1000000)))
     Min.   1st Qu.    Median      Mean   3rd Qu.      Max. 
2.462e-05 3.156e-03 7.614e-03 1.780e-02 1.699e-02 2.280e-01 

com valores de p típicos em torno de 0,01

A qqnormfunção R também fornece uma visualização útil, produzindo um gráfico muito direto para a distribuição log-odds indicando normalidade aproximada. A distribuição da variável beta dsitribute produz uma curva distinta indicando não normalidade

$\alpha,\beta$