Se uma matriz de covariância inversa é esparsa, o que posso dizer sobre a matriz de covariância?

Como a condição de esparsidade em uma matriz de covariância inversa afeta a matriz de covariância real?

Como já comentado por Yair, não há condição específica de esparsidade da matriz de covariância inversa que afeta a matriz de covariância real ou vice-versa. Qualquer coisa que não seja um padrão trivial de matriz de esparsidade (ou seja, diagonal) não garante que refletirá em uma matriz específica e em sua inversa. Mesmo matrizes tridiagonais podem facilmente ter inversos não esparsos.

Para casos particulares em que a esparsidade da matriz ocorre em blocos, você pode obter alguns resultados decorrentes do algoritmo pseudo-inverso da matriz de blocos, que afirma que:

$\left[\begin{array}{cc} A & B \\C & D \end{array}\right]^{-1} =\begin{bmatrix} (A - BD^{-1}C)^{-1} & -A^{-1}B(D - CA^{-1}B)^{-1} \\ -D^{-1}C(A - BD^{-1}C)^{-1} & (D - CA^{-1}B)^{-1} \end{bmatrix}$

mas isso é provavelmente o caso (puramente anedótico, tentei impor padrões de esparsidade através da decomposição de Cholesky de uma matriz PSD, mas falhei na minha tentativa de tentativa e erro). Você também pode considerar examinar o algoritmo Cuthill – McKee (CM) se espera que algum recurso de adjacência seja refletido na matriz de covariância. O algoritmo CM permite uma matriz esparsa que tenha um padrão de esparsidade simétrica em uma forma de matriz de banda com uma pequena largura de banda; isso pode ajudar a preservar alguma esparsidade em relação às entradas fora da diagonal da matriz inversa, mas isso não é garantido. (A aplicação do CM, se razoável, pode ser muito útil para aplicações específicas (por exemplo, em rotinas de suavização 2D) e pode acelerar significativamente seus cálculos.)